常微分方程初值求解中改进欧拉法研究
朱健生
【摘 要】[摘 要] 在人们的实际生活中，经常会遇到各种各位的常微分方程问题，在解决这些问题时，只有常微分方程较为简单的情况下才能求出其精确解。但对于其他有一定精度要求的常微分方程问题，则需要通过求出其近似解的方法来达到其精度要求。由于欧拉法在求解常微分方程初值问题时其精度往往较差，因此需要通过相应的改进来提高其精度。为此，以下便对常微分方程初值求解中改进欧拉法进行深入的研究。 【期刊名称】淮南职业技术学院学报 【年(卷),期】2019(019)002 【总页数】2
【关键词】[关键词] 常微分方程； 初值求解；改进欧拉法
欧拉法是求解常微分方程中最基本、最常用的方法，而改进欧拉法则是在欧拉法的基础上进行相应的改进而形成的方法。对于常微分方程来说，其特征的本质是在方程中包含有导数项，这使其在初值求解问题时，首要步骤便是要对其导数值进行消除，该消除过程便被叫做离散化。要想使常微分方程的初值求解问题得以离散化，需要通过向前差商对导数值进行近似代替，这也是离散化处理的主要路径，同时也是欧拉法得以顺利进行的前提。不过，由于欧拉法在求解常微分方程初值问题时的精度比较低，因此在实际问题解决中，通常不进行单独运算，而为了进一步提高欧拉法的精度，人们提出了一种欧拉法的改进方法，即改进欧拉法。鉴于此，对常微分方程在初值求解问题中研究改进欧拉法的精度是否能够满足其应用要求是非常必要的。
一、常微分方程初值求解问题分析
在工程技术及自然科学领域中，很多问题都涉及到微分方程，而要想有效解决这些问题，就必须要对微分方程的精确解进行求出。由于常微分方程的形式往往非常复杂，在大部分情况下，人们无法求出这些问题的精确解。但可以通过求出近似解的方式来代替这些精确解，以此达到解决这些实际问题的目的，而这种求出近似解的方法，便是微分方程的初值解法。在对常微分方程的初值问题进行求解时，其基本思想为，在初值问题求解中，其初值的解是包含在区间[a,b]内的，此时取n+1个节点a=x0 二、欧拉法及其改进 对于常微分方程初值求解问题来说，无论是常规欧拉法还是改进后的欧拉法，其都是通过数值积分方法来实现离散化处理的。 (一) 欧拉法 在常微分方程的初值求解问题中，欧拉法无疑是最为基本也是最为简单的数值求解方法。在初值求解问题中，其实质便是对问题解在一系列点中值的近似值进行求出。比如，在求解常微分方程 时，可将其区间[a,b]进行n段的划分，此时方程在第xi点中的解可以表示为y(xi)=f(xi,y(xi))，此时，可以采用向前差商来对导数进行近似代替，由此可将其表示为(y(xi)+1)-y(xi/h=f(xi,y(xi))，在以上表达式中，可以看出，步长便是h，而步长则反映两个相邻点之间的距离，由此便可根据这两个点的距离，即xi点与yi点之间的步长来进行计算，即可获 得yi+1，而yi+1=yi+h*f(xi,yi),i=0,1,2,L。这种方法便是所谓的欧拉法，如果已知初值为yi+1，则可根据以上公式来进一步推算出其数值解，即y1,y2,L。从以上求解步骤中可以了解到欧拉法在求解常微分方程时，主要是通过向前差商来对常微分方程中包含的导数进行似似代替的，然后对代替后的方程的步长进行求出，即可根据步长来得到初值解的近似解，从而实现对初值问题的解决。由于该方法的分析较为复杂，为了使分析能够进一步简化，人们需要yi准确的前提下，也就是说yi与y(xi)相等时，对估计误差y(xi+1)-yi+1进行计算，而这种估计误差又被称之为局部截断误差，对于某个求解初值问题的方法来说，如果其局部截断误差可以用O(h^(p+1))进行表示，则可以将该方法的精度称之为p阶，也可以将其叫做p阶方法，此时欧拉法的局部截断误差可以表示成O(h^2)，从欧拉法的局部截断误差便可以了解到，欧拉法属于一阶方法。正是因为其属于一阶方法，使其精度往往是比较低的，难以应用于形式较为复杂的常微分方程初值求解问题中，因此有必要对该方法进行相应的改进。 (二) 欧拉法的改进 为了提高欧拉法的求解精度，需要进一步对欧拉法进行相应的改进，因此在改进时，需要先采用欧拉法对常微分方程初值问题中的一个近似值进行初步的求出，而该值可叫做预报值，在求得预报值以后，将该预报值代替梯形法右侧中的yi+1，然后对fi+1进行直接计算，由此便可获得其校正值，可将该校正值表示成yi+1，通过这种先获得预报值，然后采用梯形法进行校正的方法便被叫做改进欧拉法。在改进欧拉法中，其预报值y～i+1=yi+h*f(xi,yi)，而其校正值yi+1则可表示为yi+(h/2)*[f(xi+1,y～i+1)+f(xi,yi)]，其平均化形式主要包括以下几种，分别是yp与yi+h*f(xi,yi)相等，而且yc与yi+h*f(xi+1,yp)相等，
常微分方程初值求解中改进欧拉法研究
