第1章 全等三角形
一、选择题(共4小题)
1.如图,正方形ABCD的边长为6,点E、F分别在AB,AD上,若CE=3,且∠ECF=45°,则CF的长为( ) A.2
B.3
C. D.
2.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AC,垂足为E,BF∥AC交ED的延长线于点F,若BC恰好平分∠ABF,AE=2BF.给出下列四个结论:①DE=DF;②DB=DC;③AD⊥BC;④AC=3BF,其中正确的结论共有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
3.如图,点A,B,C在一条直线上,△ABD,△BCE均为等边三角形,连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q,连接PQ,BM,下面结论:
①△ABE≌△DBC;②∠DMA=60°;③△BPQ为等边三角形;④MB平分∠AMC, 其中结论正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图,点E,F在AC上,AD=BC,DF=BE,要使△ADF≌△CBE,还需要添加的一个条件是( )
A.∠A=∠C B.∠D=∠B C.AD∥BC D.DF∥BE
二、填空题(共5小题)
5.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形CDE,连接AE,BE,则∠AEB的度数为 .
6.如图,在△ABC中,已知∠1=∠2,BE=CD,AB=5,AE=2,则CE= .
7.如图,正方形ABCD的对角线相交于点O,△OEF是正三角形,且AE=BF,则∠AOE= .
8.如图,在⊙O的内接四边形ABCD中,AB=3,AD=5,∠BAD=60°,点C为弧BD的中点,则AC的长是 .
9.如图,以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF,则下列结论:①△EBF≌△DFC;②四边形AEFD为平行四边形;③当AB=AC,∠BAC=120°时,四边形AEFD是正方形.其中正确的结论是 .(请写出正确结论的序号).
三、解答题(共21小题)
10.如图,点B、E、C、F在同一条直线上,∠A=∠D,∠B=∠DEF,BE=CF.求证:AC=DF.
11.如图,在矩形ABCD中,点F在边BC上,且AF=AD,过点D作DE⊥AF,垂足为点E. (1)求证:DE=AB.
(2)以D为圆心,DE为半径作圆弧交AD于点G.若BF=FC=1,试求的长.
12.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,求证:AC=AD.
13.如图,AC=DC,BC=EC,∠ACD=∠BCE.求证:∠A=∠D.
14.如图,点C,E,F,B在同一直线上,点A,D在BC异侧,AB∥CD,AE=DF,∠A=∠D. (1)求证:AB=CD.
(2)若AB=CF,∠B=30°,求∠D的度数.
15.已知:如图,AB∥CD,E是AB的中点,CE=DE.求证: (1)∠AEC=∠BED; (2)AC=BD.
16.如图,在△ABC中,AB=AC,点E,F分别是边AB,AC的中点,点D在边BC上.若DE=DF,AD=2,BC=6,求四边形AEDF的周长.
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17.已知,如图,在矩形ABCD中,点E,F在边AD上,且AE=DF,求证:BF=CE.
18.如图,四边形ABCD、BEFG均为正方形,连接AG、CE. (1)求证:AG=CE; (2)求证:AG⊥CE.
19.如图,在?ABCD中,∠BCD=120°,分别延长DC、BC到点E,F,使得△BCE和△CDF都是正三角形.
(1)求证:AE=AF; (2)求∠EAF的度数.
20.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠BCD=90°,BC=DC.延长AD到E点,使DE=AB. (1)求证:∠ABC=∠EDC; (2)求证:△ABC≌△EDC.
21.如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,点E是∠BAC角平分线上一点,过点E作AE的垂线,过点A作AB的垂线,两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点,DH⊥AC,垂足为H,连接EF,HF.
(1)如图1,若点H是AC的中点,AC=2,求AB,BD的长; (2)如图1,求证:HF=EF;
(3)如图2,连接CF,CE.猜想:△CEF是否是等边三角形?若是,请证明;若不是,说明理由.
22.如图,点B、C、E、F在同一直线上,BC=EF,AC⊥BC于点C,DF⊥EF于点F,AC=DF.求证: (1)△ABC≌△DEF; (2)AB∥DE.
23.已知,如图,点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的延长线于点E,EF=FD. 求证:AD=CE.
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24.如图,在△ABC中,AB=AC,作AD⊥AB交BC的延长线于点D,作AE∥BD,CE⊥AC,且AE,CE相交于点E,求证:AD=CE.
25.如图,在?ABCD中,AE⊥BC,交边BC于点E,点F为边CD上一点,且DF=BE.过点F作FG⊥CD,交边AD于点G.求证:DG=DC.
26.如图,在?ABCD中,点E,F在AC上,且∠ABE=∠CDF,求证:BE=DF.
27.我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”.如图,四边形ABCD是一个筝形,其中AB=CB,AD=CD,请你写出与筝形ABCD的角或者对角线有关的一个结论,并证明你的结论.
28.如图,已知点D在△ABC的BC边上,DE∥AC交AB于E,DF∥AB交AC于F. (1)求证:AE=DF;
(2)若AD平分∠BAC,试判断四边形AEDF的形状,并说明理由.
29.如图,过∠AOB平分线上一点C作CD∥OB交OA于点D,E是线段OC的中点,请过点E画直线分别交射线CD、OB于点M、N,探究线段OD、ON、DM之间的数量关系,并证明你的结论.
30.如图,点B,C是线段AD的三等分点,以BC为直径作⊙O,点P是圆上异于B,C的任意一点,连接PA,PB,PC,PD.
(1)当PB=PC时,求tan∠APB的值;
(2)当P是上异于B,C的任意一点时,求tan∠APB?tan∠DPC的值.
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第1章 全等三角形
参考答案与试题解析
一、选择题(共4小题)
1.如图,正方形ABCD的边长为6,点E、F分别在AB,AD上,若CE=3,且∠ECF=45°,则CF的长为( ) A.2
B.3
C. D.
【考点】全等三角形的判定与性质;勾股定理;正方形的性质. 【专题】压轴题.
【分析】首先延长FD到G,使DG=BE,利用正方形的性质得∠B=∠CDF=∠CDG=90°,CB=CD;利用SAS定理得△BCE≌△DCG,利用全等三角形的性质易得△GCF≌△ECF,利用勾股定理可得AE=3,设AF=x,利用GF=EF,解得x,利用勾股定理可得CF. 【解答】解:如图,延长FD到G,使DG=BE; 连接CG、EF;
∵四边形ABCD为正方形, 在△BCE与△DCG中, ,
∴△BCE≌△DCG(SAS), ∴CG=CE,∠DCG=∠BCE, ∴∠GCF=45°, 在△GCF与△ECF中, ,
∴△GCF≌△ECF(SAS), ∴GF=EF, ∵CE=3,CB=6, ∴BE===3, ∴AE=3,
设AF=x,则DF=6﹣x,GF=3+(6﹣x)=9﹣x,
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