第7章 参数估计 ----点估计
一、填空题
1、设总体X服从二项分布B(N,p)，0?P?1，X1,X2?Xn是其一个样本，那么矩估
?? 计量pX . N2、 设 总 体X~B(1,p)， 其 中 未 知 参 数 0?p?1 , X1,X2L,Xn 是 X的样
n1nX1?Xi本， 则 p的 矩 估 计 为_?Xi_， 样本 的 似 然 函 数 为_?pi(1?p)__。
ni?1i?13、 设 X1,X2,L,Xn是 来 自 总 体 X~的 似 然 函 数L(X1,X2L,Xn;?,?)?_
2N(?,?2)的 样 本， 则 有 关 于 ?及 ?2
n?i?1e2??1?12?2(Xi??)2__。
二、计算题
1、设总体X具有分布密度f(x;?)?(??1)x,0?x?1，其中???1是未知参数，
?X1,X2,?Xn为一个样本，试求参数?的矩估计和极大似然估计.
解：因E(X)??10x(α?1)xadx??(α?1)xα?1dx?01α?1a?21α?1 x|0?α?2α?2??1α令E(X)?X?
?α?2??2X?1为?的矩估计 ?α1?Xn?因似然函数L(x1,x2,Lxn;?)?(??1)(x1x2Lxn)
n?lnLn?lnL?nln(α?1)?α?lnXi，由???lnXi?0得，
?αα?1i?1i?1n???(1??的极大似量估计量为αn?lnXi?1n)
i??e??x,x?02、设总体X服从指数分布 f(x)?? ，X1,X2,?Xn是来自X的样本，（1）
0,其他?求未知参数?的矩估计；（2）求?的极大似然估计.
解：（1）由于E(X)?1? ，令
1?n?X?????1??1 ，故?的矩估计为?XX（2）似然函数L(x1,x2,L,xn)??elnL?nln????xii?1n?xii?1n
dlnLnn???xi?0???d??i?1故?的极大似然估计仍为
n
?xi?1ni1。 X2
3、设总体X~N?0,?2?，X1,X2,L,Xn为取自X的一组简单随机样本，求?的极大似
然估计；
[解] (1)似然函数L?n?i?11e2???xi22?2??2??n2?2???e?2?i2i?1nx2
nxi2nn2于是lnL??ln2??ln??? 2222?i?1dlnLn1n2??2??xi， d?22?2?4i?1?1n2dlnL22
令?0，得?的极大似然估计：???Xi. 2ni?1d?4、设总体X服从泊松分布P(?), X1,X2,L,Xn为取自X的一组简单随机样本, （1）求未知参数?的矩估计；（2）求?的极大似然估计.
??X，此为?的矩估计。 解：（1）令E(X)???X?? （2）似然函数L(x1,x2,L,xn)???xii?1ne?n?i?x!i?1n
lnL??xiln??n???lnxi!i?1i?1nnxixi?dlnL??i?1?n?0???i?1?xd??n
nn故?的极大似然估计仍为X。
第七章 参数估计 ----点估计的评价标准
一、填空题
1、 设X1,X2,X3是取自总体
X的一个样本，则下面三个均值估计量
?1?X1??155X33111131?2?X1?X2??3?X1?X2?X3都是总体X2?X3,u,u10234123412?2 最有效. 均值的无偏估计，则 ?2、 设X1,X2,?Xn是取自总体N(0,?)的样本，则可以作为?2的无偏估计量是( A ).
21n2A、?Xi
ni?11n2B、?Xi
n?1i?11nC、?Xi
ni?11nD、?Xi
n?1i?1二、计算题
1n(Xi??)21、设X1,X2,?Xn为从一总体中抽出的一组样本，总体均值?已知，用?n?1i?1去估计总体方差?，它是否是?的无偏估计，应如何修改，才能成为无偏估计.
221n1nn22(X??)]?E(X??) 解：因E[??2??2 ??iin?1i?1n?1i?1n?11n?(Xi??)2不是?2的无偏估计 ?n?1i?11n22但?(Xi??)是?的无偏估计 ni?12、设X1,X2,?Xn是来自总体N(?,?)的一个样本，若使C?偏估计，求常数C的值。 解：
2?(Xi?1n?1i?1?Xi)2为?2的无
E[C??(Xi?1?Xi)]?C?[E(Xi?1?Xi)2]2i?1i?1n?1n?1?C?[EXi2?1?EXi2?2EXi?1EXi]i?1n?1?C?[?2??2??2??2?2?2]i?1n?1
?2(n?1)C?2??2?C?12(n?1)第七章 参数估计 ----区间估计
一、选择题
21、设总体X~N(?,?)，?未知，设总体均值?的置信度1??的置信区间长度l，那
2么l与a的关系为( A ).
A、a增大，l减小 C、a增大，l不变
2
B、a增大，l增大 D、a与l关系不确定
22、设总体X~N(?,?)，且?已知，现在以置信度1~?估计总体均值?，下列做法中
一定能使估计更精确的是( C ).
A、提高置信度1??，增加样本容量 C、降低置信度1??，增加样本容量
B、提高置信度1??，减少样本容量 D、降低置信度1??，减少样本容量
二、计算题
1、设总体X~N(?,0.9)，当样本容量n?9时，测得X?5，求未知参数?的置信度为
0.95的置信区间.
解：?的置信区间为(X?Z?22?n,X?Z?2?n)
Z0.05?1.96
2??0.05 n?9 ??0.9 X?5
?的置信区间为(4.412,5.588)。
22、设总体X~N(?,?),已知???0,要使总体均值?的置信水平为1??的置信区间的长度
不大于L，问需要抽取多大容量的样本。
解：?的置信区间为(X?Z??2?0n,X?Z?2?0n)，
2Z??2?0n224Z??0?L?n?L22
23、某车间生产自行车中所用小钢球，从长期生产实践中得知钢球直径X~N(?,?)，现从某批产品里随机抽取6件，测得它们的直径(单位：mm)为：
14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1，置信度1???0.95(即??0.05) (1)若??0.06，求?的置信区间 2(3)求方差?，均方差?的置信区间.
解：(1)?22(2)若?未知，求?的置信区间
2已知，则
?的置信区间为(X?Z??2?n,X?Z?2?n)，
n?5,??0.05,Z??1.96
2代入则得?的置信区间(14.75,15.15)
2(2)?未知，则?的置信区间为(X?t?2SS,X?t??)，n?5,??0.05 nn2查表得t0.05?2.5706，代入得?的置信区间为(14.71,15.19)
2(3)
(n?1)S2?2~?2(n?1)
(n?1)S2(n?1)S2?的置信区间(2,2)
??(n?1)??(n?1)221?2??0.05,n?5 代入得?2的置信区间为：(0.0199,0.3069)。
均方差?的置信区间为(0.0199,0.3069)?(0.1411,0.2627)
4、 设从正态总体X中采用了n = 31个相互独立的观察值 , 算得样本均值 X?58.61及
样本方差 S2?(5.8)2, 求总体X的均值和方差的90%的置信区间
解：1???0.9,???0.05,1??0.95,n?31,s?5.8, t0.05(30)?1.6973 22?t?(n?1)2\\m的 90%的置信区间为 : (Xs)?(56.84,60.38) n2?0.05(30)?43.772?0.95(30)?18.49 ，S2 = 33.64
?的 （1-a）%的置信区间为 :
2?(n?1)s2(n?1)s2??2? ,2???(n?1)?1??(n?1)??22?30?33.6430?33.8??2?23.1??2?54.6
18.49即 43.77\\s的 90%的 置 信 区 间 为 : (23.1 , 54.6)
2
5、 设 某 种 灯 泡 的 寿 命 X服 从 正 态 分 布 N(? , s2 ) , ? , s2未 知 , 现 从 中 任 取 5个灯 泡 进 行 寿 命 测 试 (单 位 : 1000小 时 ), 得 :
10.5 , 11.0 , 11.2 , 12.5 , 12.8 ,
求 方 差 及 均 方 差 的 90%的 置 信 区 间 .
151522解：x??xi?11.6,S??(xi?x)?0.995
5i?14i?1
概率与数理统计第7章参数估计习题及答案
