代入有关量可得：Pt =
1P(s2－s12) ?22v1s1s2?s1222?122
由此可解得：t === 7.5s
2s1v12?1?0.2注释 等效法是用较简单的因素代替较复杂的因素，以使问题得到简化而便于求解。在效果相同的情况下，将较为复杂的实际问题变换为简单的熟悉问题，以便突出主要因素，抓住它的本质，找出其中规律。
例3 如图1-2所示，一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3.0m的墙外， 从喷口算起， 墙高为4.0m。 若不计空气阻力，取g?10m/s，求所需的最小初速及对应的发射仰角。 解析 水流做斜上抛运动，以喷口O为原点建立如图所示的直角坐标，本题的任务就是水流能通过点A（d、h）的最小初速度和发射仰角。
2?x?v0cos??t?根据平抛运动的规律，水流的运动方程为?12
y?v0sin??t?gt?2?把A点坐标（d、h）代入以上两式，消去t，得：
2v0??gd2/2cos2??(h?dtan?)图1-2
2?gd2/[dsin2??h(cos2??1)]?gd2/d2?h2[dd?h22?sin2??hd?h2?cos2?]?h令 h/d?tan?,则d/d2?h2?cos?,h/d2?h2?sin?,上式可变为
2v0?gd2/d2?h2sin(2???)?h,显然,当sin(2???)?1,即2????90? 1h4??亦即发射角??45??45?arctan?45?arctan?71.6时,v0最小,22d3???且最小初速v0=g(d?h?h)?310m/s?9.5m/s.
注释 极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的推
理分析，从而给出判断或导出一般结论。极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易。
例4 有一个很大的湖，岸边（可视湖岸为直线）停放着一艘小船，缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成15°角，速度为2.5km/h 。 同时岸上一人从停放点起追赶小船，已知他在岸上跑的速度为4.0km/h ，在水中游的速度为2.0km/h ，问此人能否追及小船？
解析：费马原理指出：光总是沿着光程为极小值的路径传播。据此可以证明，光在平面分界面上的折射是以时间为极小值的路程传播。本题求最短时间问题，可类比类在平面分界面上的折射情况，这样就把一个运动问题通过类比可转化为光的折射问题求解。
如图1-3所示，船沿OP方向被刮跑，设人从O点出发先沿湖岸跑，在A点入水游到OP的B点，如果符合光的折射定律，则所用时间最短。根据折射定律：
sin90o4.0=，解得：γ = 30° sin?2.0α = 180°－15°－(90°+γ) = 45°
22图1-3
在这最短时间内，若船还未到达B点，则人能追上小船，若船已经通过了B点，则人不能追上小船，所以船刚好能到达B点所对应的船速就是小船能被追及的最大船速vm 。 根据正弦定理：
vmtv1t1v2t2== ①
sin120osin45osin15o又：t = t1 + t2
v1v2sin120o由以上两式可解得：vm == 22km/h ②
v1sin15o?v2sin45o此即小船能被人追上的最大速度，而小船实际速度只有2.5km/h ，小于22km/h ，所以人能追上小船。
注释 类比法是在于发现和探索发现某些不同问题在一定范围内具有形式上的相似性，其中包括数学表达式上的相似性和物理图像上的相似性，利用已知系统的物理规律去寻找未知系统的物理规律。
例5 一火车沿直线轨道从静止发出由A地驶向B地，并停止在B地。A 、B两地相距s ，火车做加速运动时，其加速度最大为a1 ，做减速运动时，其加速度的绝对值最大为a2 ，由此可可以判断出该火车由A到B所需的最短时间为 。
解析：整个过程中火车先做匀加速运动，后做匀减速运动，加速度最大时，所用时间最短，分段运动可用图象法来解。根据题意作v—t图，如图（4）所示。
v由图可得：a1 = ①
t1a2 =
v ② t212s =v (t1 + t2) =vt ③ 由①、②、③解得：t =2s(a1?a2) a1a212注释 图象法是把抽象复杂的物理过程有针对性地表示成物理图象，将物理量
图 1-4
间的代数关系转变为几何关系，运用图象直观、形象、简明的特点，来分析解决物理问题。 例6 A 、B 、C三只猎犬站立的位置构成一个边长为a的正三角形，每只猎犬追捕猎物的速度均为v ，A犬想追捕B犬，B犬想追捕C犬，C犬想追捕A犬，为追捕到猎物，猎犬不断调整方向，速度方向始终“盯”住对方，它们同时起动，经多长时间可捕捉到猎物？
解析：以地面为参考系，三只猎犬运动轨迹都是一条复杂的曲线，但根据对称性，三只猎犬最后相交于三角形的中心点，在追捕过程中，三只猎犬的位置构成三角形的形状不变，以绕点旋转的参考系来描述，可认为三角形不转动，而是三个顶点向中心靠近，所以只要求出顶点到中心运动的时间即可。由题意作图1-5-1，设顶点到中心的距离为s ，则由已知条件得：s =3a 3图1-5-1 由运动合成与分解的知识可知，在旋转的参考系中顶点向中心运动的速度为：
v′= vcos30°=3v 2由此可知三角形收缩到中心的时间为：t =
s2a= v?3v注释 对称法由于物质世界存在某些对称性，使得物理学理论也具有相应的对称性，从而使
对称现象普遍存在于各种物理现象和物理规律中。利用对称法分析解决物理问题，可以避免复杂的数学演算和推导，直接抓住问题的实质，出奇制胜，快速简便地求解问题。
解法（2）三只猎犬都做等速率曲线运动，而且任一时刻三只猎犬的位置都分别在一个正三角形的三个顶点上，但这正三角形的边长不断减小，如图1-5-2要想求出捕捉的时间，则需用微元法将等速率曲线运动变成等速率直线运动，再用递推法求解.
设经时间t可捕捉猎物，再把t分为n个微小时间间隔△t，在每一个△t内每只猎犬的运动可视为直线运动，每隔△t，正三角形的边长分别为a1、a2、a3、…、an，显然当an→0时三只猎犬
3a1?a?AA1?BB1cos60??a?v?t,233a2?a1?v?t?a?2?v?t,2233相遇.a3?a2?v?t?a?3?v?t,
22?3an?a?n?v?t2因为a?n?图1-5-2 3v?t?0,即n?t?t2所以t?2a 3v注释 递推法是解决物体与物体发生多次作用后的情况. 即当问题中涉及相互联系的物体较多并且有规律时，应根据题目特点应用数学思想将所研究的问题归类，然后求出通式。具体方法是先分析某一次作用的情况，得出结论. 再根据多次作用的重复性和它们的共同点，把结论推广，然后结合数学知识求解。用递推法解题的关键是导出联系相邻两次作用的递推关系式.
例7 已知地球半径约为6.4×106m，又知月球绕地球的运动可近似看做匀速圆周运动，则可估算出月球到地心的距离约为 m.（结果只何留一位有效数字） 解析 因为月球绕地球的运动可近似看做匀速圆周运动，所以可根据月球所受的万有引力提供月球做匀速圆周运动所需要的向心力及月球公转周期求解此问题，也可根据地球上的光经月球反射2秒后返回地球的知识估算. 根据运动定律及万有引力定律得：
GMm2?2?m()r 2TrGMm??m?g 2R
两式代入数据可得r=4.1×108m（其中T是月球绕地球旋转周期，T=30天）
注释 估算法是在我们解决问时题缺乏必要的已知条件，无法用常规的方法来求出物理问题
的准确答案，采用“估算”的方法就能忽略次要因素，抓住问题的主要本质，充分应用物理知识进行快速数量。
例8 如图1-6-1所示，质点自倾角为α的斜面上方定点O沿光滑的斜槽从静止开始下滑，为使质点在最短时间内从O点到达斜面，斜槽与竖直方向的夹角β应等于多少？
图1-6-1 图1-6-2
解析：如图1-6-2所示，以经过O点的竖直线上的一点O′ 为圆心，OO′ 为半径作圆，并使该圆与斜面恰好相切于A点，与OO′延长线交于B点。已知从O点由静止出发沿倾角不同的光滑斜面下滑的质点，到达圆周上不同点所需时间相等，显然，质点沿OA方向从静止开始滑到斜面上所需时间比沿其他方向滑到斜面上所需时间短。
连接O′A ，由几何关系得：∠AO′B = α
所以所用时间最短时，斜槽与竖直方向的夹角：β =
?2 注释 作图法是根据题意把抽象复杂的物理过程有针对性的表示成物理图像，将物理问题转化成一个几何问题，通过几何知识求解，作图法的优点是直观形象，便于定性分析，也可定性计算，灵活应用作图法会给解题带来很大方便
例9（第21届预赛题）如图1-7所示，B是质量为mB、半径为R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上。A是质为mA的细长直杆，被固定的光滑套管C约束在竖直方向，A可自由上下运动。碗和杆的质量关系为：mB＝2mA。初始时，A杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触（如图）。然后从静止开始释放A，A、B便开始运动。设A杆的位置用? 表示，? 为碗面的球心O至A杆下端与球面接触点的连线方向和竖直方向之间的夹角。求A与B速度的大小（表示成? 的函数）。 解析 由题设条件知，若从地面参考系观测，则任何时刻，A沿竖直方向运动，设其速度为vA，B沿水平方向运动，设其速度为vB，若以B为参考系，从B观测，则A杆保持在竖直方向，它与碗的接触点在碗面内作半径为R的圆周运动，速度的方向与圆周相切，设其速度为VA。杆相对地面的速度是杆相对碗的速度与碗相对地面的速度的合速度，
图1-7 速度合成的矢量图如图中的平行四边形所示。由图1-7得： VAsin??vA VAco?s?vB 因而 v1B?vAcot?，由能量守恒 mAgRcos??2m212AvA?2mBvB 且知 mB＝2mA得 ： v2gRcos?2gRco?A?sin?1?cos2?； vB?co?ss1?co2s? 例10（第24届复赛题）图中所示为用三角形刚性细杆AB、BC、CD连成的平面连杆结构图。
AB 和CD杆可分别绕过A、D的垂直于纸面的固定轴转动，A、D两点位于同一水平线上。BC杆的两端分别与AB杆和CD杆相连，可绕连接处转动（类似铰链）。当AB杆绕A轴以恒定的角速度?转到图中所示的位置时，AB杆处于竖直位置。BC杆与CD杆都与水平方向成45°角，已知AB杆的长度为l，BC杆和CD杆的长度由图给定。求此时C点加速度ac的大小和方向（用与CD杆之间的夹角表示）
C vC aaCn
C t ? B aC v?B A D 图1-8-1 图1-8-2
解法一 因为B点绕A轴作圆周运动，其速度的大小为vB??l （1） B点的向心加速度的大小为aB??2l
（2）
因为是匀角速转动，B点的切向加速度为0，故aB也是B点的加速度，其方向沿BA方向．因为C点绕D轴作圆周运动，其速度的大小用vC表示，方向垂直于杆CD，在考察的时刻，由图可知，其方向沿杆BC方向．因BC是刚性杆，所以B点和C点沿BC方向的速度必相等，故有
π2??l （3） 422vC此时杆CD绕D轴按顺时针方向转动，C点的法向加速度aCn? （4）
CD22由图可知CD?22l，由（3）、（4）式得aCn??l ，方向沿CD方向 （5）
8
vC?vBcos下面来分析C点沿垂直于杆CD方向的加速度，即切向加速度aCt．因为BC是刚性杆，所以C点相对B点的运动只能是绕B的转动，C点相对B点的速度方向必垂直于杆BC．令vCB表示其速度的大小，根据速度合成公式有vCB?vC?vB 由几何关系得vCB?22vB?vC?22vB??l （6） 22
由于C点绕B作圆周运动，相对B的向心加速度aCB因为CB?2vCB （7） ?CB2l，故有aCB?22?l，方向垂直杆CD （8） 4由（2）式及图可知，B点的加速度沿BC杆的分量为?aB?BC?aBcos所以C点相对A点（或D点）的加速度沿垂直于杆CD方向的分量
π （9） 4aCt?aCB??aB?BC?322?l （10） 4C点的总加速度为C点绕D点作圆周运动的法向加速度aCn与切向加速度aCt的合加速度，即
22 aC?aCn?aCt?742?l（11） 8aC的方向与杆CD间的夹角??arctanaCt?arctan6?80.54?（12） aCn解法二 通过微商求C点加速度。以固定点A为原点作一直角坐标系Axy，Ax轴与AD重合，Ay与AD垂直．任意时刻t，连杆的位形如图所示，此时各杆的位置分别用?，?和?表示，且已知AB?l，BC?2l，CD?22l，AD?3l，
d????，C点坐标表示为 dtxC?lcos??2lcos? （1）
yC?lsin??2lsin? （2）
将（1）、（2）式对时间t求一阶微商，得
dxCd?d?????l?sin??2sin?? （3） dtdtdt??
全国高中物理竞赛专题一 运动学
