dyCd?d????l?cos??2cos? ? （4）dtdtdt??把（3）、（4）式对时间t求一阶微商，得
22?d2xCd2?d2???d???d????l?cos????sin?2?2cos????2sin?2? dt2dtdtdtdt????????22?d2yCd2?d2???d???d???l??sin????cos?2?2sin????2cos?2? 2dtdtdt??dt??dt????（5）
（6）
根据几何关系，有
即
CDsin??ABsin??BCsin? CDcos??ABcos??BCcos??3l
22sin??sin??2sin? 22cos??3?cos??2cos?
（7） （8）
将（7）、（8）式平方后相加且化简，得2sin?sin??2cos?cos??3cos??32cos??2?0（9）
ππd?d?1，??，?? ???，得24dt2dtd2?32对（9）式对时间t求二阶微商，并代入上述数据，得2??
dt8d?将（10）、（11）式以及?，?，的数值代入（5）、（6）式，得
dtd2xC52d2yC72，??l???l? 22dt8dt8对（9）式对时间t求一阶微商，代入??22（10） （11）
?d2xC??d2yC?742l? （12） 所以aC??2???2??dtdt8????由图知，aC与x轴的夹角为?
?d2yC?tan???2??dt??d2xC?2?dt???1.4 ?（13）
所以求得??arctan1.4?54.46，这个夹角在第三象限，为234.46，故aC与CD的夹角?=80.54
例11（第25届预赛题）为训练宇航员能在失重状态下工作和生活，需要创造一种失重的环境。在地球表面附近，当飞机模拟某些在重力作用下的运动时，就可以在飞机座舱内实现短时间的完全失重状态。现要求一架飞机在速率为v1=500m/s时进入失重状态试验，在速率为v2=1000m/s时退出失重状态试验。重力加速度g=10m/s2。试问：
（i）在上述给定的速率要求下，该飞机需要模拟何种运动，方可在一定范围内任意选择失重时间的长短？试定量讨论影响失重时间长短的因素。
（ii）飞机模拟这种运动时，可选择的失重状态的时间范围是多少？
解析 当飞机作加速度的大小为重力加速度g，加速度的方向竖直向下的运动时，座舱内的
试验者便处于完全失重状态。这种运动可以是飞机模拟无阻力下的自由落体运动或竖直上抛运动，也可以是斜抛运动。当进入试验的速率和退出试验的速率确定后，飞机模拟前两种运动时，失重时间的长短都是一定的、不可选择的。当飞机模拟无阻力作用下的斜抛运动时，失重时间的长短与抛射角有关，可在一定范围内进行选择。
考察飞机模拟无阻力作用下的斜抛运动。设开始试验时飞机的初速度的大小为v1，方向与水平方向成θ角，起始位置为A点，经做抛物线运动在B点退出试验，如图所示。以t表示试验经历的时间，在退出试验时的速率为v2，则有v2x=v1cosθ v2y=v1sinθ?gt
222而v2?v2x?v2y
(1) (2) (3)
由(1)、(2)、(3)式得gt?2v1gtsinθ?v1?v2?0
2v1sinθ?v12sin2θ?(v2?v12)解(4)式得t?
g2222(4) (5)
由(5)式可知，当进入试验时飞机的速度v1和退出试验时飞机的速度v2确定以后，失重时间的长短可通过角θ来调节。
(ii)当θ=90°时失重时间最长，由(5)式可求得最长失重时间tmax=150s 当θ=?90°时，失重时间最短，由(5)式可求得最短失重时间tmin=50s 失重时间的调节范围在150s到50s之间。
(6) (7)
【训练题】
练习1 在进行“飞镖”训练时，打飞镖的靶上共有10环，且第10环的半径为1cm，第9环的半径为2cm，……，依此类推，如图1-9所示，当人离靶的距离为5m，将飞镖对准10环中心以水平速度v投出，则（g=10m/s）( )
A、当v≥50m/s时，会射中第8环线以内 B、当v=50m/s时，会射中在第6环线上
C、若要击中第10环以内，速度v至少应为505m/s D、若要击中靶子，速度v至少应为252m/s
练习2 如图1-10所示，长度为L的直杆上端连着一个半径不计的小球A,下端固定在转轴O上，物体B与转轴O在同一水平面上，球A顺时针转动时，A、B紧密接触，当杆与水平方向的夹角等于θ时，物体B 水平移动的速度等于v，那么，此时，球A转动的角速度是
练习3 如1-11图所示，细绳长l，吊一个质量为m的铁球，绳受2mg拉力就会断裂，绳的上端系一质量不计的环，环套在光滑水平杆上。起初环带着球一起以速度v?图1-10 O θ 图1-9 A v 2
B gl向右匀速运动，在A处环被挡住而停下的瞬间，绳子所受拉力
图1-11
为多少？在以后的运动过程中，球是先碰墙还是先碰地？（已知A处离墙水平距离为l，球离地高度h=2l）
练习4 如图1-12所示，质量为m的带电小球静止在绝缘水平面上，某时刻给小球加上某方向上的范围足够大的匀强电场，小球腾空沿着与水平面成30角的直线飞去。电场力的大小恒为F?再经过
0
3mg，小球经过一段时间t的飞行后，将所加电场方向逆时针旋转120，
0
t撤去电场。小球在重力的作用下落回水平面，试求： 2图1-12 300 ⑴落回点与出发点相距多远； ⑵小球的飞行时间？
练习5 2007年春节期间，城乡许多家庭为了增添节日的热闹气氛，燃放了不少组合“春雷”花炮，组合“春雷”花炮一般由炮筒、炮体和引线等部分组成。组合“春雷”花炮有16响、25响、36响……不同的组合方式，如图1-13所示为16响“春雷”的示意图。燃放“春雷”的过程一般是先点火，炮体在炮筒中经过一段匀加速运动的过程后，从炮筒口以较大的速度冲向天空，在最高点炸裂，然后落地。已知炮筒的高度h?50cm，炮体在炮筒中的加速度为
400m/s2，炮体与炮体间的水平距离为l?8cm，导入炮体的引线长度与炮筒高度相同，如图所示，引线的燃烧速度为v?2cm/s，不计空气阻力，试求：
（1）从点火到最后一个炮体离开炮筒的时间； （2）炮体能达到的最大高度?
图1-13 练习6 为了测量一高楼的高度，某人设计了如下实验，在一根长为l的绳两端各拴一重球，一人站在楼顶上，手执绳的上端无初速度释放使其自由落下，另一个人在楼下测量两球落地的时间差?t，即可根据l,?t,g得出楼的高度（不计空气阻力）。请问：
（1）从原理上讲，这个方案是否正确？ （2）从实际测量来看，你估计最大困难是什么？
（3）若测得l?10m,?t?0.4s，g取10m/s2，估算楼高多少？
练习7 一把雨伞边缘的半径为r，且高出水平地面h.当雨伞以角速度ω旋转时，雨滴自边缘甩出落在地面上成一个大圆周.这个大圆的半径为_______.
练习8 羚羊从静止开始奔跑，经过50 m距离能加速到最大速度25 m/s，并能维持一段较长的时间；猎豹从静止开始奔跑，经过60 m 的距离能加速到最大速度30 m/s，以后只能维持这个速度4.0 s.设猎豹距离羚羊x m时开始攻击，羚羊则在猎豹开始攻击后1.0 s才开始奔跑，假定羚羊和猎豹在加速阶段分别做匀加速运动，且均沿同一直线奔跑.求：
（1）猎豹要在其最大速度减速前追到羚羊，x值应在什么范围? （2）猎豹要在其加速阶段追上羚羊，x值应在什么范围?
练习9 我们在电影或电视中经常可以看到这样的惊险场面：一辆汽车从山顶落入山谷，为
了拍摄重为15 000 N的汽车从山崖上坠落的情景，电影导演通常用一辆模型汽车代替实际汽车.设模型汽车与实际汽车的大小比例为
11，那么山崖也必须用的比例来代替真实的山崖.设电影2525每1 min放映的胶片张数是一定的，为了能把模型汽车坠落的情景放映得恰似拍摄实景一样，以达到以假乱真的视觉效果.问：在实际拍摄的过程中，电影摄影机每1 s拍摄的胶片数应是实景拍摄的几倍？
练习10 飞机以恒定的速度v0沿水平方向飞行，飞行高度为2 000 m，在飞行过程中释放一炸弹，在30 s后飞行员听见炸弹落地的爆炸声.假设此爆炸声向空间各个方向的传播速度都为320 m/s，炸弹受到的空气阻力可以忽略，取g=10 m/s2.则炸弹经_______s时间落地，该飞机的飞行速度v0=_______m/s.（答案保留两位有效数字）
练习11 如图1-14所示，有一质量为m的小球P与穿过光滑水平板上小孔O的轻绳相连，用手拉着绳子另一端，使小球在水平板上绕O点做 半径为a、角速度为?的匀速圆周运动. 求：（1）此时绳上的拉力有多大？
（2）若将绳子从此状态迅速放松，后又拉直，使小球绕O做半径为b的匀速圆周运动.从放松到拉直这段过程经历了多长时间？
（3）小球做半径为b的匀速圆周运动时，绳子上的拉力又是多
图1-14 图1-15
练习12 如图1-15所示，a为一固定放置的半径为R的均匀带电球体，O为其球心．己知取无限远处的电势为零时，球表面处的电势为U=1000 V．在离球心O很远的O′点附近有一质子b，它以 Ek＝2000 eV 的动能沿与O?O平行的方向射向a．以l表示b与O?O线之间的垂直距离，要使质子b能够与带电球体a的表面相碰，试求l的最大值．把质子换成电子，再求l的最大值．
练习13 如图1-16所示，滑轮两边悬挂的重物与盘的质量相同，均为M，处于静止。现有距盘底高为h质量为m的胶泥自由下落，求胶泥粘在盘上时盘获得的初速度。不计滑轮与绳质量，及轴承摩擦和绳的伸长。
y v0O ?0 L H x m M 图1-16
图1-17
练习14 如图1-17所示，一摩托车运动员跳跃一壕沟，他以v0?10m/s且与水平面成
??300角的初速度从沟的西边缘起跳，刚好在沟的东边缘落地。已知东边缘比西边缘低H=10m，
重力加速度g取10m/s,设空气阻力忽略。试求：在空中飞行的时间及沟宽L。
练习15 如图1-18所示，杆OA长为R，可绕过O点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A系着一跨过定滑轮B、C的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M，滑轮的半径可忽略，B在O的正上方，OB之间的距离为H。某一时刻，当绳的BA段与OB之间的夹角为?时，杆的角速度为?，求此时物块M的速率vM。 练习16 质点以加速度a从静止出发做直线运动，在某时刻t，加速度变为2a；在时刻2t，加速度变为3a；…；在nt时刻，加速度变为（n+1）a，求： （1）nt时刻质点的速度； （2）nt时间内通过的总路程.
2图1-18 练习17 小球从高h0?180m处自由下落，着地后跳起又下落，每与地面相碰一次，速度减小
1(n?2)，求小球从下落到停止经过的总时间为通过的总路程.（g取10m/s2） n练习18 如图1-19所示，一个身高为h的人在灯以悟空速度v沿水平直线行走。设灯距地
面高为H，求证人影的顶端C点是做匀速直线运动。
图1-19
练习19 某行星围绕太阳C沿圆弧轨道运行，它的近日点A离太阳的距离为a，行星经过近日点A时的速度为vA，行星的远日点B离开太阳的距离为b，如图1-20所示，求它经过远日点B时的速度vB的大小.
练习20 如图1-21所示，小环O和O′分别套在不动的竖直杆AB和A′B′上，一根不可伸长的绳子穿过环O′，绳的两端分别系在A′点和O环上，设环O′以恒定速度v向下运动，求当∠AOO′=α时，环O的速度.
练习21 图1-22中AOB是一内表面光滑的楔形槽，固定在水平桌面（图中纸面）上，夹角??1?（为了能看清楚，图中画的是夸大了的）. 现将一质点在BOA面内从A处以速度v?5m/s射出，其方向与AO间的夹角??60?,OA?10m.设质点与桌面间的摩擦可忽略不计，质点与OB面及OA面的碰撞都是弹性碰撞，且每次碰撞时间极短，可忽略不计，试求：（1）经过几次碰撞质点又回到A处与OA相碰？（计算次数时包括在A处的碰撞） （2）共用多少时间？
图1-22
图1-20 图1-21
全国高中物理竞赛专题一 运动学
