,、在求某一物理量的平均值时，不可用逐项逐差，而要用隔项逐差;否则中间项数据会相互消去，而只到用首尾项，白白浪费许多数据。
如上例，若采用逐项逐差法(相邻两项相减的方法)求伸长量，则有 (x,x)(x,x)(x,x)11105421 [，，？，],(x,x)505mmm5m
xx可见只有、两个数据起作用，没有充分利用整个数据组，失去了在大量数据05
中求平均以减小误差的作用，是不合理的。 1.4.5 用最小二乘法作直线拟合
作图法虽然在数据处理中是一个很便利的方法，但在图线的绘制上往往会引入附加误差，尤其在根据图线确定常数时，这种误差有时很明显。为了克服这一缺点，在数理统计中研究了直线拟合问题(或称一元线性回归问题)，常用一种以最小二乘法为基础的实验数据处理方法。由于某些曲线的函数可以通过数学变换改写为直线，例如对函数
,bxy,aexlny,lna,bxlny取对数得，与的函数关系就变成直线型了。因此这一
设某一实验中，可控制的物理量取x， x， ?， x值时，对应的物理量依次取12n
y， y， ?， y值。我们假定对x值的观测误差很小，而主要误差都出现在y的观测12nii上。显然如果从(x， y)中任取两组实验数据就可得出一条直线，只不过这条直线的误ii
差有可能很大。直线拟合的任务就是用数学分析的方法从这些观测到的数据中求出一个
y,a，bx误差最小的最佳经验式。按这一最佳经验公式作出的图线虽不一定能通过每一个实验点，但是它以最接近这些实验点的方式平滑地穿过它们。很明显，对应于每一
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个x值，观测值y和最佳经验式的y值之间存在一偏差δ，我们称它为观测值y的偏iiyii差，即
,,y,y,y,(a，bx) () (1—15) i,1,2,3,？,nyiiii
最小二乘法的原理就是:如各观测值y的误差互相独立且服从同一正态分布，当y的偏ii差的平方和为最小时，得到最佳经验式。根据这一原则可求出常数a和b
,设以S表示的平方和，它应满足: yi
22 (1—16) ,,，，S,，，,,y,a，bx,minyii,,i
上式中的各y和x是测量值，都是已知量，而a和b是待求的，因此S实际是a和b的ii
函数。令S对a和b的偏导数为零，即可解出满足上式的a、b值。
,S,S， ，，,,2y,a,bx,0，，,,2y,a,bxx,0,ii,iii,b,a 即
2y,na,bx,0 ，xy,ax,bx,0 iiiiii,,,,, 其解为
2xy,nxyxyx,yxiiii,,,iiiii,,,, ， b, (1—17) a,2222，，x,nx，，x,nxiiii,,,,
将得出的a和b代入直线方程，即得到最佳的经验公式y,a，bx。
上面介绍了用最小二乘法求经验公式中的常数a和b的方法，是一种直线拟合法。它在科学实验中的运用很广泛，特别是有了计算器后，计算工作量大大减小，计算精度也能保证，因此它是很有用又很方便的方法。用这种方法计算的常数值a和b是“最佳的”，但并不是没有误差，它们的误差估算比较复杂。一般地说，一列测量值的δ大(即yi实验点对直线的偏离大)，那么由这列数据求出的a、b值的误差也大，由此定出的经验公式可靠程度就低;如果一列测量值的δ小(即实验点对直线的偏离小)，那么由这列yi
数据求出的a、b值的误差就小，由此定出的经验公式可靠程度就高。直线拟合中的误差估计问题比较复杂，可参阅其他资料，本教材不作介绍。
为了检查实验数据的函数关系与得到的拟合直线符合的程度，数学上引进了线性相关系数r来进行判断。r定义为
,x,yii, r, (1—18) 22，，,x,(,y)ii,,
,x,x,x式中，。r的取值范围为。从相关系数的这一特性可,1,r,1,y,y,yiiii 以判断实验数据是否符合线性。如果r很接近于1，则各实验点均在一条直线上。普物实验中r如达到0.999，就表示实验数据的线性关系良好，各实验点聚集在一条直线附
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近。相反，相关系数r=0或趋近于零，说明实验数据很分散，无线性关系。因此用直线拟合法处理数据时要算相关系数。具有二维统计功能的计算器有直接计算r及a、b的功能。
【习题】
1(指出下列各量是几位有效数字，测量所选用的仪器与其精度是多少, (1) 63.74 cm; (2) 0.302 cm; (3) 0.0100 cm ; (4) 1.0000 kg; (5)0.025 cm; (6) 1.35 ? ; ,3(7) 12.6 s; (8)0.2030 s; (9) 1.530×10 m。 2(试用有效数字运算法则计算出下列结果
(1)107.50 ,2.5; (2) 273.5?0.1; (3) 1.50?0.500,2.97; 50.0，(18.30,16.3)8.0421(4); (5) ; ，30.9(103,3.0)，(1.00，0.001)6.038,6.034
,23(6)V,πd h / 4, 已知h,0.005 m , d,13.984×10(m), 计算V 。 3(改正下列错误，写出正确答案 (1)L,0.01040(km)的有效数字是五位; (2)d,12.435?0.02(cm ); 4(3)h,27.3×10 ?2000(km);
(4)R,6371 km,6371000m,637100000(cm); 4(单位变换
(1)将 L,4.25?0.05(cm)的单位变换成μm , mm , m , km 。 (2)将 m,1.750?0.001(kg)的单位变换成 g , mg , t 。
5(已知周期T,1.2566?0.0001(s)，计算角频率ω的测量结果，写出标准式。 m46(计算的结果，其中m,236.124?0.002(g);D,2.345?0.005(cm); ,,2,DH H,8.21?0.01(cm)。并且分析 m , D , H 对 σ的合成不确定度的影响。 p
l,2,T7. 利用单摆测重力加速度g，当摆角很小时有的关系。式中l为摆长，Tg
为周期，它们的测量结果分别为l=97.69?0.02cm， T=1.9842?0.0002s，求重力加速度及其不确定度。
,附录? 教学中常用仪器误差限 仪 米尺 记时器(1s、0.1s、0.01s) 游标卡尺(20、50分度) 物理天平(0.1g) 千分尺 电桥(QJ23型) 分光计 电位差计(UJ33型) 读数显微镜 转柄电阻箱 各类数字式仪表 电表 - 6 -
其它仪器、量具 ,仪器最小分度(1s、0.1s、0.01s) ,仪 ,0.5mm ,0.05g ,,仪仪
,最小分度值(0.05mm或,K %?R(K是准确度或级别，R为示值) ,,仪仪002mm) ,K %?v(K是准确度或级别，v为示值) ,仪
,0.004mm或0.005mm ,K %?R(K是准确度或级别，R为示值) ,,仪仪 ,最小分度值(1’或30”) ,K %?M(K是准确度或级别，M为示值) ,,仪仪 ,0.005mm 是根据实验际情况由实验室给出示值误差限 ,,仪仪 ,仪器最小读数 ,仪 7 8
实验数据处理的几种方法
