―→―→―→―→―→4―→2―→4―→2―→2―→2―→∴AC＝AB＋BC＝DC＋BC＝AM－AN＋AN－AM＝AM＋AN，
333333224―→―→―→
∵AC＝λAM＋μAN，∴λ＝，μ＝，λ＋μ＝.
3334
答案： 3
考点三 共线向量定理的应用
[典例] 设两个非零向量a与b不共线，
―→―→―→
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3a－3b， 求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb同向．
―→―→―→
[解] (1)证明：∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3a－3b， ―→―→―→―→∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB， ―→―→
∴AB，BD共线． 又∵它们有公共点B， ∴A，B，D三点共线． (2)∵ka＋b与a＋kb同向，
∴存在实数λ(λ>0)，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb. ∴(k－λ)a＝(λk－1)b.
∵a，b是不共线的非零向量，
????k－λ＝0，?k＝1，?k＝－1，∴?解得?或? ?λk－1＝0，??λ＝－1，??λ＝1?
又∵λ>0，∴k＝1.
1.向量共线问题的注意事项
(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．
6
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
[题组训练]
―→―→―→
1．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )
A．矩形 C．梯形
B．平行四边形 D．以上都不对
―→―→―→―→―→―→解析：选C 由已知，得AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2BC，故AD―→―→―→
∥BC.又因为AB与CD不平行，所以四边形ABCD是梯形．
2．已知向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，若向量a与向量b共线，则( ) A．λ＝0 C．e1∥e2
B．e2＝0 D．e1∥e2或λ＝0
解析：选D 因为向量e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，又因为向量a和b共线，存在实数k，使得a＝kb，所以e1＋λe2＝2ke1，所以λe2＝(2k－1)e1，所以e1∥e2或λ＝0.
―→1―→―→―→―→
3．已知O为△ABC内一点，且AO＝(OB＋OC)，AD＝tAC，若B，O，D三点共
2线，则t＝( )
1A. 41C. 2
1 B. 32 D. 3
1―→―→―→―→―→
解析：选B 设E是BC边的中点，则(OB＋OC)＝OE，由题意得AO＝OE，所以
211―→1―→1―→―→1―→1―→
AO＝AE＝(AB＋AC)＝AB＋AD，又因为B，O，D三点共线，所以＋＝1，解
2444t44t1
得t＝，故选B.
3
―→
―→―→AB
4．已知O，A，B三点不共线，P为该平面内一点，且OP＝OA＋，则( )
―→|AB|A．点P在线段AB上 B．点P在线段AB的延长线上 C．点P在线段AB的反向延长线上 D．点P在射线AB上
7
―→―→
1――→―→AB―→―→AB―→→
解析：选D 由OP＝OA＋，得OP－OA＝，∴AP＝·AB，∴点P在
―→―→―→|AB||AB||AB|射线AB上，故选D.
[课时跟踪检测]
―→―→
1．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC＝( ) ―→
A．AD 1―→C.BC 2
1―→ B.AD
2―→ D．BC
―→―→1―→―→1―→―→1―→―→―→
解析：选A 由题意得EB＋FC＝(AB＋CB)＋(AC＋BC)＝(AB＋AC)＝AD.
2222．已知向量a，b不共线，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c与d共线反向，则实数λ的值为( )
A．1 1
C．1或－
2
1
B．－
21
D．－1或－
2
解析：选B 由于c与d共线反向，则存在实数k使c＝kd(k＜0)， 于是λa＋b＝ka＋?2λ－1?b. 整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b.
[]
??λ＝k，
由于a，b不共线，所以有?
?2λk－k＝1，?
1
整理得2λ2－λ－1＝0，解得λ＝1或λ＝－.
21
又因为k＜0，所以λ＜0，故λ＝－. 2
―→―→―→
3．设向量a，b不共线，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为( )
A．－2 C．1
B．－1 D．2
―→―→―→―→―→
解析：选B 因为BC＝a＋b，CD＝a－2b，所以BD＝BC＋CD＝2a－b.又因为A，―→―→―→―→
B，D三点共线，所以AB，BD共线．设AB＝λBD，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，
8
p＝－λ，即λ＝1，p＝－1.
―→―→―→
4．(2019·甘肃诊断)设D为△ABC所在平面内一点，BC＝－4CD，则AD＝( ) 1―→3―→A.AB－AC 443―→1―→C.AB－AC 44
1―→3―→
B.AB＋AC
443―→1―→ D.AB＋AC
44
―→―→―→―→―→―→―→―→
解析：选B 法一：设AD＝xAB＋yAC，由BC＝－4CD可得，BA＋AC＝－4CA
??－4x＝－1，―→―→―→―→―→
－4AD，即－AB－3AC＝－4xAB－4yAC，则?解得
3??－4y＝－3，y＝，4
―→3―→
AB＋AC，故选B.
4
???
1x＝，4
―→1即AD＝
4
1――→―→→―→―→―→―→―→1―→
法二：在△ABC中，BC＝－4CD，即－BC＝CD，则AD＝AC＋CD＝AC－BC
44―→1―→―→1―→3―→
＝AC－(BA＋AC)＝AB＋AC，故选B.
444
―→
|BC|―→3―→1―→
5．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足OC＝OA＋OB，则44―→
|AC|等于( )
A．1 C．3
B．2 3 D. 2
―→―→―→3―→1―→―→3―→―→―→―→3
解析：选C 因为BC＝OC－OB＝OA＋OB－OB＝BA，AC＝OC－OA＝
4444―→
|BC|―→1―→―→1―→
OA＋OB－OA＝AB，所以＝3.故选C.
44―→
|AC|
―→―→―→―→―→
6．已知△ABC的边BC的中点为D，点G满足GA＋BG＋CG＝0，且AG＝λGD，则λ的值是( )
1A. 2C．－2
B．2 1
D．－
2
―→―→―→
解析：选C 由GA＋BG＋CG＝0，得G为以AB，AC为邻边的平行四边形的第四个―→―→
顶点，因此AG＝－2GD，则λ＝－2.故选C.
9
7．下列四个结论：
―→―→―→―→―→―→―→
①AB＋BC＋CA＝0；②AB＋MB＋BO＋OM＝0； ―→―→―→―→―→―→―→―→
③AB－AC＋BD－CD＝0；④NQ＋QP＋MN－MP＝0， 其中一定正确的结论个数是( ) A．1 C．3
B．2 D．4
―→―→―→―→―→―→―→―→―→
解析：选C ①AB＋BC＋CA＝AC＋CA＝0，①正确；②AB＋MB＋BO＋OM＝―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→―→AB＋MO＋OM＝AB，②错误；③AB－AC＋BD－CD＝CB＋BD＋DC＝CD＋DC―→―→―→―→―→―→
＝0，③正确；④NQ＋QP＋MN－MP＝NP＋PN＝0，④正确．故①③④正确．
―→
8.如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且AM3―→―→2―→―→―→＝AB，AN＝AD，AC，MN交于点P.若AP＝λAC，则λ的值为( ) 43
3A. 53C. 16
3 B. 76 D. 17
4―→3―→―→3―→―→2―→―→―→―→―→
AM＋AN?解析：选D ∵AM＝AB，AN＝AD，∴AP＝λAC＝λ(AB＋AD)＝λ?2?3?434―436→3―→
＝λAM＋λAN.∵点M，N，P三点共线，∴λ＋λ＝1，则λ＝.故选D. 323217
9．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝________. 解析：因为向量λa＋b与a＋2b平行，
??λ＝k，1所以可设λa＋b＝k(a＋2b)，则?所以λ＝.
2??1＝2k，
1
答案： 2
―→1―→―→―→
10．若AP＝PB，AB＝(λ＋1)BP，则λ＝________.
2
―→1―→
解析：如图，由AP＝PB，可知点P是线段AB上靠近点A的三等分点，
23―35―→→
则AB＝－BP，结合题意可得λ＋1＝－，所以λ＝－.
222
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2020年高考数学平面向量专题复习
