5
答案：－
2
―→―→―→
11．已知平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA＝a，OB＝b，则DC―→
＝________，BC＝________.(用a，b表示)
―→―→―→―→―→―→―→―→
解析：如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，BC＝OC－OB＝－OA―→
－OB＝－a－b.
答案：b－a －a－b
―→―→―→
12．(2019·长沙模拟)在平行四边形ABCD中，M为BC的中点．若AB＝λAM＋μDB，则λ－μ＝________.
―→―→―→―→解析：如图，在平行四边形ABCD中，AB＝DC，所以AB＝AM＋―→―→1―→―→1―→―→―→1―→―→―→1MB＝AM＋CB＝AM＋(DB－DC)＝AM＋(DB－AB)＝AM＋
2222
3―21―→1―→→―→1―→―→2―→1―→
DB－AB，所以AB＝AM＋DB，所以AB＝AM＋DB，所以λ＝，μ＝，所以λ
22233331－μ＝.
3
1答案： 3
―→―→―→
13．设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB＝2e1－8e2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1
－e2.
(1)求证：A，B，D三点共线；
―→
(2)若BF＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求k的值．
―→―→―→
解：(1)证明：由已知得BD＝CD－CB＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2， ―→
∵AB＝2e1－8e2， ―→―→∴AB＝2BD.
―→―→
又∵AB与BD有公共点B， ∴A，B，D三点共线． ―→
(2)由(1)可知BD＝e1－4e2，
11
―→
∵BF＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线， ∴存在实数λ，使―BF→＝λ―BD→
， 即3e1－ke2＝λe1－4λe2，
???λ＝3，得??－k＝－4λ.
解得k＝12.
12
第二节 平面向量基本定理及坐标表示
一、基础知识
1．平面向量基本定理
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)基底：不共线的向量e1e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． ?1?基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； ?2?基底给定，同一向量的分解形式唯一；
??λ1＝μ1，
?3?如果对于一组基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，则可以得到?
??λ2＝μ2.
2．平面向量的坐标运算
(1)向量的加法、减法、数乘向量及向量的模： 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)， a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
2λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x21＋y1.
若a＝b，则x1＝x2且y1＝y2. (2)向量坐标的求法：
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ―→
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝(x2－x1，y2－y1)， ―→
|AB|＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2. 3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b?x1y2－x2y1＝0.
x1y1当且仅当x2y2≠0时，a∥b与＝等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标
x2y2
成比例．
13
考点一 平面向量基本定理及其应用
―→―→
[典例] 如图，以向量OA＝a，OB＝b为邻边作平行四边形OADB，―→1―→―→1―→―→―→―→BM＝BC，CN＝CD，用a，b表示OM，ON，MN.
33
―→―→―→
[解] ∵BA＝OA－OB＝a－b， 1―→1―→1
BM＝BA＝a－b，
6665―→―→―→1
∴OM＝OB＋BM＝a＋b.
66―→
∵OD＝a＋b， ―→―→1―→∴ON＝OC＋CD
31―→1―→＝OD＋OD 262―2→2
＝OD＝a＋b， 333
21511―→―→―→2
∴MN＝ON－OM＝a＋b－a－b＝a－b.
336626521―→1―→2―→1
综上，OM＝a＋b，ON＝a＋b，MN＝a－b.
663326[解题技法]
1．平面向量基本定理解决问题的一般思路
(1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来解决．
(2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便．另外，要熟练运用平面几何的一些性质定理．
2．应用平面向量基本定理应注意的问题
(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组． (2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．
[题组训练]
11―→
1．在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝AB，BQ＝BC，若AB＝
33―→―→
a，AC＝b，则PQ＝( )
14
11
A.a＋b 3311C.a－b 33
11
B．－a＋b
3311
D．－a－b
33
―→―→―→2―→1―→2―→1―→―→1―→
解析：选A 由题意知PQ＝PB＋BQ＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋
333331―1→1
AC＝a＋b. 333
―→―→―→
2．已知在△ABC中，点O满足OA＋OB＋OC＝0，点P是OC上异于端点的任意一―→―→―→
点，且OP＝mOA＋nOB，则m＋n的取值范围是________．
―→―→
解析：依题意，设OP＝λOC (0<λ<1)， ―→―→―→―→―→―→由OA＋OB＋OC＝0，知OC＝－(OA＋OB)， ―→―→―→
所以OP＝－λOA－λOB，由平面向量基本定理可知， m＋n＝－2λ，所以m＋n∈(－2,0)． 答案：(－2,0)
考点二 平面向量的坐标运算
―→―→―→―→
[典例] 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM―→
＝3c，CN＝－2b，
(1)求3a＋b－3c；
―→
(2)求M，N的坐标及向量MN的坐标．
[解] 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． ―→―→―→
(2)设O为坐标原点，∵CM＝OM－OC＝3c， ―→―→
∴OM＝3c＋OC＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ―→―→―→
∴M(0,20)．又∵CN＝ON－OC＝－2b， ―→―→
∴ON＝－2b＋OC＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，
15
2020年高考数学平面向量专题复习
