(全国通用)高考数学二轮复习第二层提升篇专题六函数与导数
第1讲函数的图象与性质讲义
[全国卷3年考情分析]
年份 全国卷Ⅰ 指数幂及对数值的大小利用奇函数的性质求函2019 比较·T3 数解析式·T6 函数图象的识别·T5 函数图象的识函数图象的识辨·T3 辨·T9 分段函数及函数的单调2018 性、解不等式·T12 抽象函数的奇偶性及周及对数式运期性·T12 算·T16 复合函数的定义域及单函数图象的识辨·T8 调性·T8 2017 复合函数的单调性、对称性·T9 函数的奇偶性、函数值的求解·T14 分段函数、解不等式·T16 辨·T7 函数图象的识函数的奇偶性及单调性·T12 函数的奇偶性全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ (1)高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面,多以选择、填空题形式考查,一般出现在第5~10或第13~15题的位置上,难度一般.主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象的判断及函数的奇偶性、周期性等.
(2)此部分内容有时也出现在选择、填空中的压轴题的位置,多与导数、不等式、创新性问题结合命题,难度较大.
考点一函数的概念及其表示 ??log3x,x>0,
[例1] (1)已知f(x)=?x(0<a<1),且f(-2)=5,f(-1)=3,则f(f(-
??a+b,x≤0
3))=( )
A.-2 C.3
B.2 D.-3
??(1-2a)x+3a,x<1,
(2)已知函数f(x)=?x-1的值域为R,则实数
?2,x≥1?
a的取值范围是
________.
[解析] (1)由题意得,f(-2)=a+b=5,①
-2
f(-1)=a-1+b=3,②
1
联立①②,结合0<a<1,得a=,b=1,
2
?log3x,x>0,?
所以f(x)=??1?x
??+1,x≤0,???2??1?则f(-3)=???2?
-3
+1=9,f(f(-3))=f(9)=log39=2,故选B.
x-1
(2)当x≥1时,f(x)=2≥1,
?(1-2a)x+3a,x<1,?
∵函数f(x)=?x-1的值域为R,
?2,x≥1?
??1-2a>0,
∴当x<1时,y=(1-2a)x+3a必须取遍(-∞,1]内的所有实数,则?
?1-2a+3a≥1,?
1
解得0≤a<.
2
?1?[答案] (1)B (2)?0,? ?2?
[解题方略] 1.函数定义域的求法
求函数的定义域,其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则,列出不等式或不等式组,然后求出它们的解集即可.
2.分段函数问题的5种常见类型及解题策略
弄清自变量所在区间,然后代入对应的解析式,求“层层套”的函数值,要从求函数值 最内层逐层往外计算 求函数最分别求出每个区间上的最值,然后比较大小 值 根据分段函数中自变量取值范围的界定,代入相应的解析式求解,但要注意取解不等式 值范围的大前提
求参数 利用函数“分段处理”,采用代入法列出各区间上的方程 依据条件找到函数满足的性质,利用该性质求解 性质求值 [跟踪训练]
?1?x1.已知函数f(x)的定义域为[0,2],则函数g(x)=f?x?+8-2的定义域为( )
?2?
A.[0,3] C.[1,2]
B.[0,2] D.[1,3]
?1?解析:选A 由题意,函数f(x)的定义域为[0,2],即x∈[0,2],因为函数g(x)=f?x??2?
1??0≤x≤2,x2+8-2,所以?得0≤x≤3,即函数g(x)的定义域为[0,3],故选A. x??8-2≥0,
|x|-x2.函数f(x)=2+(-2<x≤2)的值域为( )
2A.(2.4) C.[2,4]
B.[2,4) D.(2,4]
|x|-x解析:选B 法一:因为f(x)=2+(-2<x≤2),所以f(x)
2
??2-x,-2<x≤0,=? ?2,0<x≤2.?
函数f(x)的图象如图所示,由图象得,函数f(x)的值域为[2,4).
|x|-x法二:因为f(x)=2+(-2<x≤2),当-2<x≤0时,f(x)=2-x,所以2≤f(x)
2<4;当0<x≤2时,f(x)=2.综上,函数f(x)的值域为[2,4).
?1?3.已知具有性质:f??=-f(x)的函数,我们称为满足“倒负”变换的函数,下列函数: x??
x,0<x<1,??0,x=1,11
①f(x)=x-;②f(x)=x+;③f(x)=?
xx1
-??x,x>1.
其中满足“倒负”变换的函数是( ) A.①② C.②③
B.①③ D.①
1?1?1?1?1
解析:选B 对于①,f(x)=x-,f??=-x=-f(x),满足;对于②,f??=+xx?x?x?x?x
xx??11??=f(x),不满足;对于③,f??=?0,=1, x?x?
1?-x,?x>1,
1
,x>1,?x??1?即f??=? 0,x=1,?x???-x,0<x<1,
11
,0<<1,
?1?故f??=-f(x),满足.综上可知,满足“倒负”变换的函数是①③.
?x?
考点二函数的图象及应用 题型一 函数图象的识别
[例2] (1)(2019·开封市定位考试)函数f(x)的大致图象如图所示,则函数f(x)的解析式可以是( )
A.f(x)=x·sin|x|
2
?1?B.f(x)=?x-?·cos 2x
?
x?
C.f(x)=(e-e
x-x?)cos??2x?
?
?
π
D.f(x)=
xln|x|
|x|
2
(2)(2019·福建五校第二次联考)函数f(x)=x+ln(e-x)ln(e+x)的图象大致为( )
[解析] (1)由题中图象可知,在原点处没有图象,故函数的定义域为{x|x≠0},故排
?1?除选项A、C;又函数图象与x轴只有两个交点,f(x)=?x-?cos2x中cos2x=0有无数个
?
x?
根,故排除选项B,正确选项是D.
(2)因为f(-x)=(-x)+ln(e+x)ln(e-x)=x+ln(e-x)ln(e+x)=f(x),所以函数f(x)是偶函数,据此可排除选项C(也可由f(0)=1排除选项C).当x→e时,f(x)→-∞,据此可排除选项B、D.故选A.
[答案] (1)D (2)A [解题方略]
寻找函数图象与解析式之间的对应关系的方法
①从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置 知式选图 ②从函数的单调性,判断图象的变化趋势 ③从函数的奇偶性,判断图象的对称性 ④从函数的周期性,判断图象的循环往复 ①从图象的左右、上下分布,观察函数的定义域、值域 ②从图象的变化趋势,观察函数的单调性 知图选式 ③从图象的对称性方面,观察函数的奇偶性 ④从图象的循环往复,观察函数的周期性
题型二 函数图象的应用
??ax+x-1,x>2,
[例3] (1)函数f(x)=?是R上的单调递减函数,则实数
?ax-1,x≤2?
22
2
a的取值
范围是( )
1
A.-≤a<0
41
C.-1≤a≤- 4
1
B.a≤-
4D.a≤-1
-x??2,x≤0,
(2)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)=?则满足f(x+1) ?1,x>0,? x的取值范 围是( ) A.(-∞,-1] B.(0,+∞)
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