2020年高考数学平面向量专题复习
第一节 平面向量的概念及线性运算
一、基础知识
1．向量的有关概念
(1)向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量．以A为起点、B为终点的向―→
量记作AB，也可用黑体的单个小写字母a，b，c，…来表示向量．
―→―→―→
(2)向量的长度(模)：向量AB的大小即向量AB的长度(模)，记为|AB|. 2．几种特殊向量 名称 零向量 单位向量 定义 长度为0的向量 长度等于1个单位的向量 方向相同或相反的非零向量(也叫共平行向量 线向量) 相等向量 相反向量 单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与向量a平行的单位向量有两个，即向量和－. |a||a|
3．向量的线性运算 向量运算 定义 求两个向加法 量和的运算 ? 1
备注 零向量记作0，其方向是任意的 单位向量记作a0，a0＝ |a|a0与任意向量共线 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的两个向量 相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量 若a，b为相反向量，则a＝－b aa
法则(或几何意义) 运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a； (2)结合律：(a＋b)＋c＝a三角形法则 平行四边形法则
＋(b＋c) 求a与b的相反向量减法 －b的和的运算叫做a与b的差 求实数λ与数乘 向量a的积的运算 |λa|＝|λ||a|；当λ＞0时，λa的方向与aλ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa的方向相同；当λ＜0时，λa的方向＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 三角形法则 a－b＝a＋(－b) ?向量加法的多边形法则 多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接，a＋b＋c表示从始点指向终点的向量，只关心始点、终点.
4．共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa. 只有a≠0才保证实数λ的存在性和唯一性.
二、常用结论
―→1―→―→
(1)若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝(OA＋OB)．
2―→―→―→
(2)OA＝λOB＋μOC (λ，μ为实数)，若点A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1.
考点一 平面向量的有关概念
[典例] 给出下列命题： ①若a＝b，b＝c，则a＝c；
―→―→
②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD为平行四边形的充要
2
条件；
③a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b； ④若a∥b，b∥c，则a∥c. 其中正确命题的序号是________．
[解析] ①正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同， 又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同， ∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.
―→―→―→―→―→―→
②正确．∵AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC， 又A，B，C，D是不共线的四点， ∴四边形ABCD为平行四边形； 反之，若四边形ABCD为平行四边形， ―→―→―→―→―→―→则AB∥DC且|AB|＝|DC|，因此，AB＝DC.
③不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．
④不正确．考虑b＝0这种特殊情况． 综上所述，正确命题的序号是①②. [答案] ①②
[解题技法] 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任意向量共线． [题组训练] 1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
3
其中错误的命题的个数为( ) A．0 C．2
B．1 D．3
解析：选D ①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.③错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故错误的命题有3个，故选D.
2．设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|·a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0，假命题的个数是( )
A．0 C．2
B．1 D．3
解析：选D 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．
综上所述，假命题的个数是3.
考点二 平面向量的线性运算
―→
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝( )
3―→1―→A.AB－AC 443―→1―→C.AB＋AC 44
1―→3―→
B.AB－AC
441―→3―→ D.AB＋AC
44
―→1―→―→―→―→
(2)如图，在直角梯形ABCD中，DC＝AB，BE＝2EC， 且AE＝
4―→―→
rAB＋sAD，则2r＋3s＝( )
A．1 C．3
―→―→―→1―→1―→
[解析] (1)作出示意图如图所示．EB＝ED＋DB＝AD＋CB＝
22
B．2 D．4
4
11―→―→1―→―→3―→1―→
×(AB＋AC)＋(AB－AC)＝AB－AC.故选A. 22244
―→―→―→―→2―→―→2―→―→―→
(2)根据图形，由题意可得AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(BA＋AD＋DC)＝
33→1―→1―1―→2―→―→1―→2―→2―→
AD＋AB?＝AB＋AD. AB＋(AD＋DC)＝AB＋?4?23333?3
12―→―→―→
因为AE＝rAB＋sAD，所以r＝，s＝，则2r＋3s＝1＋2＝3.
23[答案] (1)A (2)C
[解题技法] 向量线性运算的解题策略
(1)常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连的向量的和用三角形法则．
(2)找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
(3)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：
①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果． (4)与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值．
[题组训练]
―→―→
1．设D为△ABC所在平面内一点，BC＝3CD，则( ) 1――→→4―→
A．AD＝－AB＋AC
33―→4―→1―→
C．AD＝AB＋AC
33
―→1―→4―→
B．AD＝AB－AC
33―→4―→1―→
D．AD＝AB－AC
33
1――→―→―→―→1―→―→1―→1―→→
解析：选A 由题意得AD＝AC＋CD＝AC＋BC＝AC＋AC－AB＝－AB＋
33334―→
AC. 3
―→―→
2．(2019·太原模拟)在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若AC＝λAM＋―→
μAN，则实数λ＋μ＝________.
―→―→―→―→1―→―→1―→
解析：如图，∵AM＝AB＋BM＝AB＋BC＝DC＋BC，①
22―→―→―→―→1―→
AN＝AD＋DN＝BC＋DC，②
2
―→4―→2―→―→4―→2―→
由①②得BC＝AN－AM，DC＝AM－AN，
3333
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