竞赛专题一 运动学
【基本知识】
一、 质点的位置、位置矢量和位移
1、质点 如果物体的大小和形状可以忽略不计，就可以把物体当做一个有质量的点。称该点为质点。
2、参考系 物理学中把选作为标准的参考物体系统为参考系。 3、位置矢量 由参考点指向质点所在位置的有向线段称为位置矢?
z rp ???r ?xi?yj?zk量，简称位矢或矢径。
? 其大小为 r ? x 2 ? y 2 ? z 2 ? 方位是 cos ? ? x / ? ? y / r cos ? ? z / r r cos4、位移 由初位置指向末位置的矢量称为位移，它等于质点在?t时间内位置矢量的增量，即 ?r?r2?r1
其中
?0 ?z x y
x y ?r??xi??yj??zk
z r1 P2(x2,y2,z2)
P1(x1,y1,z1) △r ?x?x2?x1 ?y?y2?y1 ?z?z2?z1
位移的大小为 ?22?rx 2 ?? ? ? y ? ? z
位移的方位是
r2 0 y
cos???x?r
cos???y?r
cos???z?r
x 二、直线运动的速度和加速度 1、速度
平均速度 质点在t~t??t内产生的位移?r与?t之比，称为此时间间隔内的平均速度，表达式是为v??r ?t瞬时速度 当?t?0时，平均速度的极限值，即位移矢量对时间的一阶导数，称为质点在t时刻的瞬时速度，简称速度，表达式为
2、、 加速度
平均加速度 在t~t??t内质点速度的增量与时间之比，称为时间间隔内的平均加速度，表达式为
v?lim?r?dr
?t?0?tdta??v
?t瞬时加速度 平均加速度的极限值，即速度对时间的一阶导数，或位置矢量对时间的二阶导数，称为质点在t时刻的瞬时加速度，简称加速度，表达式为
（1）加速度具有瞬时性，即a有如下运动公式
?vdvd2r
a?lim??dtdt?t?0?t?a(t)。只有质点做匀变速直线运动时，a?恒矢量，这时
?v?v0?at?12?x?x?vt?at ?002??v2?v2?2a(x?x)00?（2）加速度具有相对性，对于不同的参考系来说，质点的加速度一般不同。在两个相对做匀
速直线运动的参考系中（两个惯性系），质点具有相同的加速度。
（3）加速度与速度本身无关，只与速度的变化（包括方向或大小的变化）有关。某时刻速度为零而加速度不为零的是可能的。例如，竖直上抛运动到顶点时，v?0，但a三、运动学的基本问题
微分问题 已知运动方程，求速度、加速度。因求解方法用微分方法，故称此类问题为微分问题。
积分问题 已知加速度和初始条件，求速度、运动方程。因求解方法用积分方法，故称此类问题为积分问题。
（1）当a?g?0
t?a(t)时，dv?a(t)dt?v?v0??0a(t)dt。同理由v?drdt，可得
tr?r0??0vy(t)dt。
（2）当a?a(v)时，由a(v)?dvdvtvdv，可得?dt??。 ?dt?0vdta(v)a(v)0（3）当a?a(x)时，a(x)?dvdvdxdv??v?a(x)dx?vdv dtdxdtdx四、曲线运动的速度和加速度 1、曲线运动的速度和加速度
物体（质点）运动轨迹是曲线的的运动称为曲线运动。参照直线运动中瞬时速度的概念描写质点在某一时刻运动的快慢情况。
平均速度 质点在t和t??t时刻位矢分别为r(t)和r(t??t)，则
v A(t) B(t+△t) ?r在?t时间内的平均速度为?r与?t之比，表达式是为v? △ r ?t瞬时速度 当?t?0时，平均速度的极限值为质点在t时刻的瞬时速
?rdr 度，表达式为 v??lim?tdt?t?0瞬时加速度 在t时刻质点位于A点，速度为vA,经过?t时间后质
A VA
B △V VB VB v?v?v
点位于B点速度为vB，瞬时加速度为a?limBA?lim?t?0?t?t?0?t2、圆周运动 圆周运动是曲线运动的特例，设质点作半径为R的圆周运动，在t时刻质点的速度为v，则圆周运动的加速度为
v2a?an?at?n?attR，其中切向加速度
v2?vat?limt，反映的是速度大小的变化；法向加速度an?n，反映的是速度方向的
R?t?0?t变化 。n 和t分别为法线方向单位矢量和切向方向单位矢量。
若质点做匀速圆周运动，其速率不随时间变化，即
at?0，即质点的运动加速度
v2a?an?n就是法向加速度，其大小保持不变，方向始终指向圆心。
R3、抛体运动 物体以一定的速度vo抛出后，若忽略空气阻力，且物体的运动地球表面附近，它的运动高度远小于地球半径，则在运动过程中，其加速度恒为竖直向下的重力加速度g。抛体运动是一种加速度恒定的曲线运动。（??0o时为平抛运动，??90o时为上抛运动）
取抛体轨迹所在平面Oxy平面，抛出点为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴，则抛体运动的规律为：
y voax?0,ay??g；
vx?vocos?,vy?vosin??gt；
x?v0cos?t,y?vosin?t?12
gt20 ?H R x 2Vsin?，其轨迹方程为y?xtan?? x2，飞行时间 T =022g2vocos?gV02sin2?射程 R =
gV02sin2?射高 H =
g抛体运动具有对称性，上升时间和下降时间相等；上升和下降时经过同一高度时速度大小相等，速度方向与水平方向的夹角大小相等。
五、运动的合成
1、运动的合成与分解：包括位移、速度、加速度的合成与分解，合运动与分运动具有独立性、 等时性、等效性。
2、 相对运动：物体相对静止参考系的速度等于物体相对运动参考系的速度和运动参考系相对 于静止参考系两者的矢量和。绝对v?v相对?v牵连
六、刚体的平动和定轴转动 1、刚体
在无论多大的外力作用下，总保持形状和大小不变的物体叫刚体。刚体是一种理想化模型，实际物体在外力作用下发生的形变效应不显著可被忽略时，即可看做刚体。
刚体运动时，其上各点的运动状态总是相同，这种运动叫平动。如果刚体的各个质点在运动中都绕同一直线做圆周运动，这种运动叫转动。刚体的任何一个复杂运动总可视作平动与转动的叠加，刚体的运动同样遵从运动独立性原理。
刚体绕轴转动时，其上的任一质点都绕轴做圆周运动，既可以用线量来描述，又可以用角量来描述，角量与线量的关系为
Q ?v?r????a??r? ?2??an?r?2、角位置与角位移
???? 0 ?P x
? 角位置 刚体上任一点在t时刻到达P点，刚体的方位可由OP?r与Ox之夹角?来确定，称为t时刻的角位置，亦称角坐标。如图所示。
角位移 若t时刻刚体的角位置为?，t时间内的角位移 。
3、角速度与角加速度
平均角速度 刚体在t~t??t内产生的角位移??与?t之比，称为?t时间内的平均角速度。表达式为????
?t瞬时角速度 ?t?0平均角速度的极限值。表达式为??lim???d?
?t?0?t??t时刻角位置为????，则??称为刚体在?tdt平均角加速度 在t称为时间间隔内的平均角加速~t??t内刚体角速度的增量与时间之比，
度。表达式为????
?t2瞬时角加速度 ?t?0时平均角速度的极限值。表达式为??lim???d??d?
dt?t?0?tdt2七、刚体定轴转动的基本问题
微分问题 已知角运动方程，求角速度、角加速度。因求解方法用到微分方法用到积分方法，故此类问题称为微分问题。
积分问题 已知叫加速度和初始条件，求角速度、角运动方程。因求解方法用到积分方法，故此类问题称为积分问题。
⑴描述刚体定轴转动时，如下对应关系：????d?d? ???dtdt⑵当???(t)时，可利用定义??td??d???(t)dt，求得 dtt ?当???o??o?(t)dt， ???o??o?(t)dt
d?d??(?)??dt?，然后取积分并
dt?(?)??(?)时，据定义对变量进行调整
代人初始条件就可以求出角速度方程，进一步可以求出角运动方程
当???(?)时，需作如下变换??出角速度方程和角运动方程．
⑶考虑如下两种特殊情况：
d?d?d?d?，然后分离变量取积分，求???dtd?dtd?
当刚体做匀变速转动时（?
?c)，如下公式成立：
???0??t
当刚体做匀速转动（????0??0t?1?t2
22?2??0?2?(???0)
?0)）时，公式成???0??t成立．
【例题解析】
例1 质量为M、均匀分布的圆环，其半径为r，几何轴与水平面垂直，若它能经受的最大张 力为T，求此圆环可以绕几何轴旋转的最大角速度.
解析：因为向心力F=mrω2，当ω一定时，r越大，向心力越大，所以要想求最大张力T所对应的角速度ω，r应取最大值.如图1-1所示，在圆环上取一小段△L，对应的圆心角
??M，受圆环对它的张 2???力为T，则同上例分析可得 2Tsin??mr?2
2????因为△θ很小，所以sin，即 ?22为△θ，其质量可表示为?m?2T??????Mr?2 解得最大角速度 ??22?2?T Mr
图1-1 注释 微元法是分析、解决物理问题中的常用方法，也是从部分到整体的思维方法。在使用微元法处理问题时，需将其分解为众多微小的“元过程”，而且每个“元过程”所遵循的规律是相同的，这样，我们只需分析这些“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或物理思想处理，进而使问题求解。
例2 一 只老鼠从老鼠洞沿直线爬出，已知爬出速度v的大小与距老鼠洞中心的距离s成反比，当老鼠到达距老鼠洞中心距离s1 = 1m的A点时，速度大小为v1 = 20cm/s ，问当老鼠到达距老鼠洞中心s2=2m的B点时，其速度大小v2 = ？老鼠从A点到达B点所用的时间t = ？
解析：我们知道当汽车以恒定功率行驶时，其速度v与牵引力F成反比，即v =把老鼠的运动等效为在外力以恒定的功率牵引下的弹簧的运动。
由此分析，可写出：v =当x = s1时，v = v1 将其代入上式求解，得：k =
PP= v1s1v2s21s1v1 =×20 = 10cm/s
2s21212PP= FkxP，由此可F所以老鼠到达B点时的速度v2 =
再根据外力做的功等于此等效弹簧弹性势能的增加，Pt =ks2－ks12 2
全国高中物理竞赛专题一 运动学
