基础巩固强化
1.(2012·洛阳示范高中联考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是( )
A．y＝xB．y＝|x|＋1 C．y＝－x＋1 D．y＝2[答案] B
[解析]y＝x是奇函数，y＝－x＋1与y＝2
3
2
－|x|
2
－|x|
3
在(0，＋∞)上为减函数，故选B.
x2．(文)设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2－3，则f(－2)的值等于( )
11
A．－1 B. 411
C．1 D．－
4[答案] A
[解析]f(2)＝2－3＝1，又f(x)是奇函数， ∴f(－2)＝－f(2)＝－1，故选A.
(理)(2011·浙江杭州月考)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2＋2x＋m(m为常数)，则f(－1)的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3 [答案] A
[解析]∵函数f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(0)＝0，即f(0)＝2＋m＝0，解得m＝－1.
∴当x≥0时，f(x)＝2＋2x－1，f(1)＝2＋2×1－1＝3，
x1
0
2
xf(－1)＝－f(1)＝－3.
3．(文)函数f(x)(x∈R)是周期为3的奇函数，且f(－1)＝a，则f(2014)的值为( ) A．aB．－a C．0 D．2a [答案] B
[解析]∵f(x)周期为3，
∴f(2014)＝f(671×3＋1)＝f(1)， ∵f(x)为奇函数，f(－1)＝a， ∴f(1)＝－a，故选B.
(理)(2012·河南商丘模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则
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Tf(－)的值为( )
2
A．－B．0
2C.D．T 2[答案] B
[解析]∵f(－)＝－f()，且f(－)＝f(－＋T)＝f()，∴f()＝0，∴f(－)＝0.
22222224．(文)(2011·北京东城一模)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝ln(x＋1)，则函数f(x)的图象大致为( )
TTTTTTTTT
[答案] C
[解析] 函数f(x)＝ln(x＋1)的图象由f(x)＝lnx的图象向左平移1个单位得到，选取
x>0的部分，然后作关于y轴的对称图形即得．
(理)
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(2011·北京西城模拟)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是( )
A．y＝x＋1 B．y＝|x|＋1
??2x＋1，x≥0C．y＝?3
?x＋1，x<0?
2
??e，x≥0
D．y＝?－x?e，x<0?
x
[答案] C
[解析]∵f(x)为偶函数，由图象知，f(x)在(－2,0)上为减函数，而y＝x＋1在(－∞，0)上为增函数．
5．已知定义在R上的函数f(x)满足f(0)＝2－3，且对任意的x都有f(x＋3)＝
－f则f(2013)的值为( )
A．－2－3B．－2＋3 C．2－3D．－3－3 [答案] A
[解析] 由题意得f(x＋6)＝f(x＋3＋3)＝
1－f1
3
x，
x＋3
＝－－
11
＝f(x)．∴函
fx数f(x)的周期为6.
f(2013)＝f(335×6＋3)＝f(3)，而f(3)＝f(0＋3)＝－＝－＝－2－3.
f02－3
6．(文)(2011·合肥模拟)设f(x)是偶函数，且当x>0时是单调函数，则满足f(2x)＝
11
f(
x＋1
)的所有x之和为( ) x＋4
97A．－B．－ 22C．－8 D．8 [答案] C
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[解析]∵f(x)是偶函数，f(2x)＝f(∴f(|2x|)＝f(|
x＋1
)， x＋4
x＋1
|)． x＋4
又∵f(x)在(0，＋∞)上为单调函数， ∴|2x|＝|
x＋1x＋1x＋1
|，即2x＝或2x＝－， x＋4x＋4x＋4
2
整理得2x＋7x－1＝0或2x＋9x＋1＝0，
设方程2x＋7x－1＝0的两根为x1，x2，方程2x＋9x＋1＝0的两根为x3，x4. 79
则(x1＋x2)＋(x3＋x4)＝－＋(－)＝－8.
22
(理)已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a＝
2
2
2
f(log47)，b＝f(log 3)，c＝f(0.20.6)，则a、b、c的大小关系是( )
1
2
A．c
[解析] 由题意知f(x)＝f(|x|)．
∵log47＝log27>1，|log 3|＝log23>log27，0<0.2<1，
12∴|log 3|>|log47|>|0.2|.
12
又∵f(x)在(－∞，0]上是增函数，且f(x)为偶函数， ∴f(x)在[0，＋∞)上是减函数． ∴b
7．(文)若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝2对称，且当x∈(－2,2)时，
0.6
0.6
f(x)＝－x2＋1.则f(－5)＝________.
[答案] 0
[解析] 由题意知f(－5)＝f(5)＝f(2＋3)＝f(2－3)＝f(－1)＝－(－1)＋1＝0. (理)(2011·湖南文)已知f(x)为奇函数，g(x)＝f(x)＋9，g(－2)＝3，则f(2)＝________. [答案] 6
[解析] 由g(x)＝f(x)＋9知g(－2)＝f(－2)＋9＝3， ∴f(－2)＝－6，而由于f(x)是奇函数， 所以f(2)＝－f(－2)＝－(－6)＝6.
2
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8．(文)若f(x)＝lg?[答案] －1
?2x＋a?(a∈R)是奇函数，则a＝________.
?
?1＋x?
?2x＋a?是奇函数，
[解析]∵f(x)＝lg??
?1＋x?
∴f(－x)＋f(x)＝0恒成立， 即lg?
?2x＋a?＋lg?－2x＋a?
??1－x?
?1＋x???
??2x＋a??2x＋a??＝0. ＝lg??????
??1＋x??x－1??
∴?
?2x＋a??2x＋a?＝1，
???
?1＋x??x－1?
2
2
2
∴(a＋4a＋3)x－(a－1)＝0， ∵上式对定义内的任意x都成立，
??a＋4a＋3＝0，∴?2
??a－1＝0，
2
∴a＝－1.
[点评] ①可以先将真数通分，再利用f(－x)＝－f(x)恒成立求解，运算过程稍简单些． ②如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单．f(x)＝lg
a＋2x＋a为1＋xaa＋2
＝奇函数，显然x＝－1不在f(x)的定义域内，故x＝1也不在f(x)的定义域内，令x＝－1，得a＝－1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力．
(理)设函数f(x)＝sin(3x＋φ)(0<φ<π)．若f(x)＋f ′(x)是奇函数，则φ＝________.
2π
[答案]
3
[解析]∵f ′(x)＝3cos(3x＋φ)．
∴f(x)＋f ′(x)＝sin(3x＋φ)＋3cos(3x＋φ) π??＝2sin?3x＋φ＋?. 3??
f(x)＋f ′(x)是奇函数?φ＋＝kπ(k∈Z)，
π
即φ＝kπ－(k∈Z)．
3
2π
又∵0<φ<π，∴k＝1时，φ＝.
3
π3
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高考数学总复习 2-3函数的奇偶性与周期性基础巩固强化练习 新人教A版
