2019年考研数学一真题解析
一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.
1.当x?0时,若x?tanx与xk是同阶无穷小,则k?( )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
【答案】(C)
【详解】当x?0时,tanx?x?2.设函数f(x)??131x?o(x3),所以x?tanx??x3?o(x3),所以k?3. 33?xx,x?0?,则x?0是f(x)的( )
??xlnx,x?0(A)可导点,极值点 (B)不可导的点,极值点 (C)可导点,非极值点 (D)不可导点,非极值点
【答案】(B)
?ln【详解】(1)f(0?0)?limxlnx?lim??x?0x?01x1x?0,f(0?0)?limxx?0,f(0)?0,所以函数在x?0?x?0xlnx(3)当x?0时,???,所以函数在x?0处不可导;
x?0x1f(x)??x2,f?(x)??2x?0,函数单调递增;当0?x?时,f?(x)?1?lnx?0,函数单调减少,所
e以函数在x?0取得极大值.
处连续;(2)f??(0)?lim?3.设{un}是单调增加的有界数列,则下列级数中收敛的是( )
????un?unn122(A)? (B)?(?1) (C)??1?? (D)?(un?1?un)
unun?1?n?1n?1nn?1n?1??【答案】(D)
【详解】设{un}是单调增加的有界数列,由单调有界定理知limun存在,记为limun?u;又设?n,满足
n??n??2222un?M,则un?1?un?(un?1?un)(un?1?un)?2M(un?1?un),且un?1?un?0,则对于正项对于级数
?(un?1?2n?12?un),前n项和:
Sn??(uk?1n2k?1?u)?2M?(uk?1?uk)?2M(un?1?u1)?2Mun?1?2Mu
2kk?1n也就是
?(un?1?2n?12?un)收敛.
4.设函数Q(x,y)?x,如果对于上半平面(y?0)内任意有向光滑封闭曲线C都有 2y??P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0
C那么函数P(x,y)可取为( )
x21x2111(A)y?2 (B)?2 (C)? (D)x?
yyyyxy【答案】(D)
【详解】显然,由积分与路径无关条件知
?P?Q11??2,也就是P(x,y)???C(x),其中C(x)是在?y?xyy(??,??)上处处可导的函数.只有(D)满足.
5.设A是三阶实对称矩阵,E是三阶单位矩阵,若A?A?2E,且A?4,则二次型xTAx的规范形是 ( )
222222222222(A)y1?y2?y3 (B)y1?y2?y3 (C)y1?y2?y3 (D)?y1?y2?y3
2【答案】(C)
【详解】假设?是矩阵A的特征值,由条件A?A?2E可得?2???2?0,也就是矩阵A特征值只可能是1和?2.而A??1?2?3?4,所以三个特征值只能是?1?1,?2??3??2,根据惯性定理,二次型的
222规范型为y1?y2?y3.
26.如图所示,有三张平面两两相交,交线相互平行,它们的方程
ai1x?ai2y?ai3z?di(i?1,2,3)组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A,A,则( )
(A)r(A)?2,r(A)?3 (B)r(A)?2,r(A)?2 (C)r(A)?1,r(A)?2 (D)r(A)?1,r(A)?1 【答案】(A)
【详解】(1)显然三个平面没有共同交点,也就是非齐次方程组无解,从而r(A)?r(A); (2)从图上可看任何两个平面都不平行,所以r(A)?2;
7. 设A,B为随机事件,则P(A)?P(B)的充分必要条件是 ( )
(A)P(AUB)?P(A)?P(B) (B) P(AB)?P(A)P(B)
(C)P(AB)?P(BA) (D)P(AB)?P(AB)
【答案】(C)
【详解】选项(A)是A,B互不相容;选项(B)是A,B独立,都不能得到P(A)?P(B); 对于选项(C),显然,由P(AB)?P(A)?P(AB),P(BA)?P(B)?P(AB),
P(AB)?P(BA)?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)
8.设随机变量X与Y相互独立,且均服从正态分布N(?,?).则P{X?Y?1}( )
(A)与?无关,而与?2有关 (B)与?有关,而与?2无关 (C)与?,?2都有关 (D)与?,?2都无关
【答案】(A)
【详解】由于随机变量X与Y相互独立,且均服从正态分布N(?,?),则X?Y~N(0,2?),从而
222P{X?Y?1}?P{?1?X?Y?1}?P{只与?2有关.
?1X?Y1?1???}?2????1 2?2?2??2??二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) 9.设函数f(u)可导,z?f(siny?sinx)?xy,则
1?z1?z???? . cosx?xcosy?y【答案】
yx? cosxcosy解:
?z?z??cosx?f?(siny?sinx)?y,?cosy?f?(siny?sinx)?x ?x?y1?z1?zyx????? cosx?xcosy?ycosxcosy10.微分方程2yy??y?2?0满足条件y(0)?1的特解为y? . 【答案】y?3ex?2 2【详解】把方程变形2yy??y?2?0得(y)??(y)?2?0,即
222d(y2?2)?dx?y2?2?Cex?y?Cex?2
2y?2由初始条件y(0)?1确定C?3,所以y?3ex?2.
(?1)nnx在(0,??)内的和函数S(x)? . 11.幂级数?(2n)!n?1???(?1)nn(?1)nn(?1)nnx还是?x,我以?x给出解答. 看不清楚题目是?n?1(2n)!n?0(2n)!n?1(2n)!?【答案】cosx?1
(?1)n2nx,x?(??,??),从而有: 【详解】注意cosx??n?0(2n)!??(?1)nn?(?1)n(?1)nnx??(x)??(x)n?1?cosx?1,x?(0,??) ?n?1(2n)!n?1(2n)!n?0(2n)!?12.设?为曲面x?y?4z?4(z?0)的上侧,则【答案】
222???4?x2?4z2dxdy? .
32. 322【详解】显然曲面?在xOy平面的投影区域为Dxy?{(x,y)|x?y?4}
???4?x?4zdxdy???ydxdy??22x?y2?42??ydxdy?2?d??r2sin?dr?00?232 313.设A?(?1,?2,?3)为三阶矩阵,若?1,?2线性无关,且?3???1?2?2,则线性方程组Ax?0的通解为 .
??1???【答案】x?k?2?,其中k为任意常数.
??1???【详解】显然矩阵A的秩r(A)?2,从而齐次线性方程组Ax?0的基础解系中只含有一个解向量.由
??1???1????2x?k?3???1?2?2可知??1?2?2??3?0也就是x??为方程组基础解系,通解为???2?,其中k??1???1?????为任意常数.
?x?,0?x?214.设随机变量X的概率密度为f(x)??2,F(x)为其分布函数,E(X)其数学期望,则
??0,其他P{F(X)?E(X)?1}? .
【答案】.
23?0,x?02?12x4?2dx?. 【详解】F(x)?P{X?x}??x,0?x?2,E(X)??023?4x?2??1,212x2P{F(X)?E(X)?1}?P{F(X)?}?P{X?}?1??3dx?
03233三、解答题
15.(本题满分10分)
设函数y(x)是微分方程y??xy?e?x22满足条件y(0)?0的特解.
(1)求y(x);(2)求曲线y?y(x)的凸凹区间及拐点. 【详解】(1)这是一个一阶线性非齐次微分方程. 先求解对应的线性齐次方程y??xy?0的通解:y?Ce再用常数变易法求y??xy?e?x22?x22,其中C为任意常数;
?x22通解,设y?C(x)e?x22为其解,代入方程,得C?(x)ex22?e?x22,C?(x)?1,
C(x)??1dx?x?C1,也就是通解为:y?(x?C1)e?
?x22把初始条件y(0)?0代入,得C1?0,从而得到y(x)?xe(2)y(x)?xe?x22.
?x22,y?(x)?e?x22(1?x2),y??(x)?(x3?3x)e?x(x?3)(x?3)e?x22
令y??(x)?0得x1??3,x2?0,x3?3. 当x??3或0?x?当?3?x?0或x?3时,y???0,是曲线的凸区间; 3时,y???0,是曲线的凹区间.
?32?32曲线的拐点有三个,分别为(?3,?3e),(0,0),(3,3e).
vvv16.(本题满分10分)设a,b为实数,函数z?2?ax?by在点(3,4)处的方向导数中,沿方向l??3i?4j22的方向导数最大 ,最大值为10.
(1)求常数a,b之值;(2)求曲面z?2?ax?by(z?0)的面积. 【详解】(1)z?2?ax?by,则
2222?z?z?2ax,?2by; ?x?y