23．（Ⅰ）零点3个. （Ⅱ）?0,【解析】 【分析】
?1?? 100??（I）当m?0时，由f(x)?2?0，结合分段函数解析式，求得函数的零点，由此判断出
y?f(x)?2的零点的个数.
（II）令f2(x)?3f(x)?0，解得f(x)?0（根据分段函数解析式可知f?x??0，故舍去.）或f(x)?3.结合分段函数解析式，求得f(x)?3的根，结合分段函数f?x?的分段点，求得m的取值范围. 【详解】
x??2,x?0, （Ⅰ）当m?0时，f(x)????lgx?1,x?0.令y?f(x)?2?0，得f(x)?2， 则|lgx|?1?2或2|x|?2. 解|lgx|?1?2，得x?10或
1， 10解2|x|?2，得x??1或x?1（舍）.
所以当m?0时，函数y?f(x)?2的零点为?1，
1，10，共3个. 102（Ⅱ）令f(x)?3f(x)?0，得f(x)?0或f(x)?3.
由题易知f(x)?0恒成立.
所以f(x)?3必须有3个实根，即|lgx|?1?3和2|x|?3共有3个根. ①解2|x|?3，得x??log23或x?log23?1（舍），故有1个根. ②解|lgx|?1?3，得x?100或x?要使得两根都满足题意，则有m?又0?m?1，所以0?m?1， 1001. 1001. 100所以实数m的取值范围为?0,【点睛】
?1??. 100??本小题主要考查分段函数零点个数的判断，考查根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.
24．（Ⅰ）f(x)?x（Ⅱ）???,?2??3?? 4?【解析】 【分析】
（I）根据幂函数的奇偶性和在区间(0,??)上的单调性，求得m的值，进而求得f?x?的解析式.
（II）先求得g?x?的解析式，由不等式g(x)?0分离常数?得到??1x?，结合函数2x21x?在区间?1,2?上的单调性，求得?的取值范围. 2x2【详解】 y?（Ⅰ）∵幂函数f(x)?x?3m?5(m?N)为偶函数，且在区间(0,??)上单调递增，
??3m?5?0，且?3m?5为偶数. 又m?N，解得m?1，
?f(x)?x2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知g(x)?f(x)?2?x?1?x?2?x?1. 当x?[1,2]时，由g(x)?0得??易知函数y?21x?. 2x21x?在[1,2]上单调递减， 2x2123?1x???????????.
4?2x2?min2?22∴实数?的取值范围是???,?【点睛】
本小题主要考查幂函数的单调性和奇偶性，考查不等式在给定区间上恒成立问题的求解策略，属于中档题.
25．（1）证明见解析（2）?4?a?4 【解析】 【分析】
（1）先由函数f(x)为奇函数，可得m?1，再利用定义法证明函数的单调性即可； （2）结合函数的性质可将问题转化为sin2x?asinx?3?0在R上恒成立，再利用二次不等式恒成立问题求解即可. 【详解】
??3??. 4?3x?1解：（1）∵函数f(x)?是定义域为R的奇函数， xm?3?13?x?13x?13x?13x?1?f(?x)??f(x)?，?????xxxxm?3?1m?3?1m?3m?3?1?(a?1)?3x?1??0，
等式(m?1)3?1?0对于任意的x?R均恒成立，得m?1，
?x?3x?1则f(x)?x，
3?1即f(x)?1?2， x3?1设x1,x2为任意两个实数，且x1?x2，
2?3x1?3x2?22??f?x1??f?x2???x1???x2， ??x13?1?3?1??3?1??3x2?1?因为x1?x2，则3x1?3x2，
所以f?x1??f?x2??0，即f?x1??f?x2?， 因此函数f(x)在R上是增函数; （2）由不等式fcosx?asinx?3??2?1对任意的x?R恒成立， 22则fcosx?asinx?3?f(1).由（1）知，函数f(x)在R上是增函数，
??则cos2x?asinx?3?1，即sin2x?asinx?3?0在R上恒成立.令sinx?t，
a?a2?t?[?1,1]，则g(t)?t?at?3??t???3??0在[?1,1]上恒成立.
4?2?22①当?a?1时，即a??2，可知g(t)min?g(1)?4?a?0，即a??4， 2所以?4?a??2；
a2a?a??0. ②当?1???1时，即?2?a?2，可知g(t)min?g????3?42?2?即?23?a?23，所以?2?a?2； ③当?a??1时，即a?2，可知g(t)min?g(?1)?4?a?0，即a?4， 2所以2?a?4，
综上，当?4?a?4时，不等式fcosx?asinx?3?【点睛】
本题考查了利用函数奇偶性求函数解析式及定义法证明函数的单调性，重点考查了含参二次不等式恒成立问题，属中档题. 26．（1）见解析；（2）有，1.5 【解析】 【分析】
（1）由条件利用函数的单调性的定义即可证得函数f（x）在区间0,???上的单调
?2?1对任意的x?R恒成立. 2?性．（2）结合函数单调性，由零点存在性定理得出连续函数g?x?在区间?1,2?上有且仅有一个零点，由二分法即可得出零点的近似值（精确到0.3）. 【详解】
（1）函数f?x?在区间0,???上是增函数， 设x1,x2?0,???，且x1?x2， 则f?x1??f?x2????x1?x2??x1?x2??x1?x2x1?x2??x1?x2?0，
x1?x2所以f?x1??f?x2?，
故函数f?x?在区间0,???上是增函数. （2）g?x???x?log2x?2是增函数，
又因为g?1??1?log21?2??1?0，g?2??2?log22?2?2?1?0， 所以连续函数g?x?在区间?1,2?上有且仅有一个零点x0
因为g?1.5??1.5?log21.5?2?1.225?0.585?2??0.19?0， 所以x0??1.5,2?
又因为g?1.75??1.75?log21.75?2?1.323?0.807?2??0.13?0， 所以x0??1.5,1.75?
又1.75?1.5?0.25?0.3，所以g?x?零点的近似值为1.5. 【点睛】
本题考查了用定义证明函数单调性，零点存在性定理的应用，二分法求零点的近似值，属于中档题.
【易错题】高一数学上期末第一次模拟试卷含答案(1)
