专题07 幂函数及其复合函数综合问题
一、学法指导与考点梳理
重难点一 幂函数 (1)幂函数的定义
一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数. (2)常见的5种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.
二、重难点题型突破
重难点1 求幂函数的解析式
幂函数的解析式是一个幂的形式，且需满足： (1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.
例1．（1）（2020·绵阳市·高一期末）幂函数y?f?x?图象经过点22,2，则f???（ ） A．
???1??8?1 2B．
1 4C．
1 8D．
1 16【解析】设幂函数为y?xa，∵幂函数y?f?x?的图象经过点22,2，∵2?22223解得a?，幂函数为f(x)?x3，则f(1)??1??1．故选：B．
??38?8?42m（2）（2020·乐山外国语学校高一期中）若幂函数y?m?3m?3x????，
a2??2?4在区间?0,???上是减函数，则实数m的值为（ ） A．m?4或m??1
B．m??1
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C．m??1或2 D．m?4
【详解】因为函数是幂函数，所以m2?3m?3?1，解得：m??1或m?4， 当m??1时，y?x，满足函数在区间?0,???是减函数，
?3当m?4时，y?x，不满足函数在区间?0,???是减函数.故选：B
12【变式训练1】（2020·河南省实验中学模拟）幂函数y＝f(x)经过点(3，3)，则f(x)是( )
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)是增函数 1
【解析】设幂函数的解析式为y＝xα，将(3，3)代入解析式得3α＝3，解得α＝，∴y＝
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x2，其是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．故选D．
【变式训练2】.(2020·四川成都模拟)已知幂函数f(x)＝xα，当x>1时，恒有f(x) A．(0，1) B．(－∞，1) C．(0，＋∞) D．(－∞，0) 【解析】当x>1时，恒有f(x) 1．幂函数y=xα的图象与性质，由于α值的不同而比较复杂，一般从两个方面考查： ①α的正负：当α>0时，图象过原点，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降，反之也成立． ②幂函数的指数与图象特征的关系 当α≠0，1时，幂函数y=xα在第一象限的图象特征如下： α α>1 0<α<1 α<0 第2页 /共 11页 图象 特殊点 凹凸性 单调性 过(0，0)，(1，1) 下凸 递增 过(0，0)，(1，1) 上凸 递增 12过(1，1) 下凸 递减 12举例 y=x2 y?x y?x、y?x ?1?2．利用幂函数的单调性比较幂值大小的技巧： 结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借助其单调性进行比较. 例2.（1）（2020·临沂一中质检）幂函数y＝x( ) m2-2m-3 (m∈Z)图象如图所示，则m值为 A．－1 B．0 C．1 D．2 【解析】从图象上看，由于图象不过原点，且在第一象限下降，故m2－2m－3＜0， 即－1＜m＜3；又从图象看，函数是偶函数，故m2－2m－3为负偶数，将m＝0,1,2分别代入，可知当m＝1时，m2－2m－3＝－4，满足要求． ?（2）（2019·成都七中实验学校高一期中）已知幂函数f(x)?x（?是常数），则 （ ） A．f(x)的图象一定经过点(1,1) B．f(x)在(0,??)上单调递增 C．f(x)的定义域为R D．f(x)的图象有可能经过点(1,?1) 【详解】 第3页 /共 11页
专题07 幂函数及其复合函数题型归纳
