于一个常数A，0则称当x→x时，函数f（x）的极限是A，记作 0或f（x）→A（当x→x时） x→1,f（x）→? x<1x→1 x>1x→1 （2）左极限
当x→x时f（x）的左极限 0定义对于函数y=f（x），如果当x从x的左边无限地趋于x时，函数f（x）无限地趋00于一个常数A，则称当x→x时，函数f（x）的左极限是A，记作 0或f（x-0）=A
0
0例y=f（x）=2x+1
（3）右极限
当x→x时，f（x）的右极限 0定义对于函数y=f（x），如果当x从x的右边无限地趋于x时，函数f（x）无限地趋00于一个常数A，则称当x→x时，函数（fx）的右极限是A，记作 0或（fx+0）=A
0
例子：分段函数
，求，
解：当x从0的左边无限地趋于0时f（x）无限地趋于一个常数1。我们称当x→0时，f（x）的左极限是1，即有
当
x从0的右边无限地趋于0时，f（x）无限
地趋于一个常数-1。我们称当x→0时，f（x）的右极限是-1，即有
显然，函数的左极限右极限与函数的极限之间有以下关系：
定理1.6当x→x时，函数f（x）的极限等于A的必要充分条件是 0
反之，如果左、右极限都等于
A，则必有。
? →x→1时f(x)
，当
1x≠2 1f(x)→x→
x→1时，f对于函数（x）的左极限
是2，右极限也是2。
2.当x→∞时，函数f（x）的极限
（1）当x→∞时，函数f（x）的极限 y=f(x)x→∞f(x)→? y=f(x)=1+
f(x)=1+→→∞1 x
定义对于函数y=f（x），如果当x→∞时，f（x）无限地
趋于一个常数A，则称当x→∞时，函数f（x）的极限是A，记作 或f（x）→A（当x→∞时）
（2）当x→+∞时，函数f（x）的极限
定义对于函数y=f（x），如果当x→+∞时，f（x）无限地趋于一个常数A，则称当x→+∞时，函数f（x）的极限是A，记作
这个定义与数列极限的定义基本上一样，数列极限的定义中n→+∞的n是正整数；而在这个定义中，则要明确写出x→+∞，且其中的x不一定是正整数，而为任意实数。
y=f(x)x→+∞f(x)x→？
f(x)=2+→+∞，2
x→+∞时，f（x）→？ x例：函数f（）=2+e2 +∞，（fxx→所以 =2+→）
x→ 当 -x，
（解：fx）=2+e -x=2+，
（3）当x→-∞时，函数f（x）的极限
定义对于函数y=f（x），如果当x→-∞时，f（x）无限地趋于一个常
数A，则称当x→-∞时，f（x）的极限是A，记作
x→-∞f(x)→？
f(x)=2+(x则＜0) x→-∞,-x→+∞ f(x)=2+→2
例：函数，当x→-∞时，f（x）→？
解：当x→-∞时，-x→+∞ →2，即有
由上述x→∞，x→+∞，x→-∞时，函数f（x）极限的定义，不难看出：x→∞时f（x） 。A）有相同的极限x（f∞时，函数-→x∞以及+→x充分必要条件是当A的极限是
当x→-∞时， 例如函数，
→
f（x）无限地趋于常数1，当x→+∞时，f（x）也无限地∞时的极限是1，因此称当x，记作 趋于同一个常数1
其
几何意义如图3所示。
f(x)=1+
y=arctanx 不存在。
但是对函数y=arctanx来讲，因为有
即虽然当x→-∞时，f（x）的极限存在，当x→+∞时，f（x）的极限也存在，但这两个极限不相同，我们只能说，当x→∞时，y=arctanx的极限不存在。 x)=1+
y=arctanx 不存在。
y=arctanx来讲，因为有但是对函数
）的极限也存在，但这两（x→+∞
时，fxfx即虽然当→-∞时，（x）的极限存在，当 的极限不存在。x→∞时，y=arctanx个极限不相同，我们只能说，当 （四）函数极限的定理 （惟一性定理）如果存在，则极限值必定惟一。定理1.7可除外）满足条件：在点（两面夹定理）设函数定理1.8的某个邻域
河南专升本高数复习资料
