初中数学
初中数学一模冲刺复习
辅导讲义（学生版）
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初中数学一模冲刺复习教师辅导讲义
学员姓名：刘小米 辅导科目：小学思维 年 级： 学科教师：五块石1 上课时间 授课主题 2020-06-25 14:00-16:00 第01讲 相似（一） 知识图谱
错题回顾
相似（一）
知识精讲
一．相似三角形的判定
1．平行定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
2．“SSS”：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的边对应成比例，那么这两个三角形相似．
3．“SAS”：如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．
4．“AA”：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
5．“HL”：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直
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角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
二．相似三角形的判定与全等三角形的判定比较
相似三角形和全等三角形判定条件中相同的是都有“SSS”，“SAS”，“HL”，不同的是相似还可以通过“AA”和平行定理判定，而全等是还可以通过“AAS”和“ASA”判定。可见，全等三角形的判定条件中必不可少的是“边”，而相似没有特殊要求只要保证形状相同就可以，这都是因为三角形在有全等那几个判定条件的时候一定可解或者说形状固定。
三．相似的综合计算
利用相似多边形的相似比为线段比（周长比），面积比为相似比的平方的性质求解相似图形的面积比，周长比，线段比的问题．
在平面直角坐标系中，求解与已知三角形相似三角形的坐标问题一般转化为“边角边”或者“角角”来判定相似问题，此类问题一般答案不唯一．
三点剖析
一．考点：1．相似的证明；2．相似的综合计算．
二．重难点：相似的综合计算
三．易错点：相似综合计算中分析计算错误．
题模精讲
题模一：相似的证明
例1.1.1如图，在矩形ABCD中，E为AD边上的一点，过C点作CF⊥CE交AB的延长线于点F． （1）求证：△CDE∽△CBF；
（2）若B为AF的中点，CB=3，DE=1，求CD的长．
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例1.1.2如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E是BC边上的两点且∠BAC=2∠DAE=2α，点D关于直线AE的对称点为F．
（1）求证：△ADF∽△ABC；
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（2）若α=45°，求证：DE=BD+CE．
题模二：相似的综合计算
例1.2.1已知正方形ABCD的边长为2，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连接CM．
（1）如图（1），若点M在线段AB上，则AP与BN的位置关系是______，AM与AN的数量关系是______；
（2）①如图（2），在点P运动过程中，满足△PBC∽△PAM的点M在AB的延长线上时，（1）中的关系是否仍然成立（给出证明）？
②在运动过程中，PC的最小值为______．
例1.2.2AD是△ABC的中线，将BC边所在直线绕点D顺时针旋转α角，交边AB于点M，交射线AC于点N，设AM=xAB，AN=yAC （x，y≠0）．
（1）如图1，当△ABC为等边三角形且α=30°时证明：△AMN∽△DMA；
11（2）如图2，证明：+=2；
xy（3）当G是AD上任意一点时（点G不与A重合），过点G的直线交边AB于M′，交射线AC于点
112N′，设AG=nAD，AM′=x′AB，AN′=y′AC（x′，y′≠0），猜想：+=是否成立？并说明
x?y?n理由．
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例1.2.3已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°．
（1）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF． （i）求证：△CAE∽△CBF；
（ii）若BE=1，AE=2，求CE的长；
（2）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且
ABEF=k时，若BE=1，AE=2，CE=3，求k?BCFC的值；
（3）如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设BE=m，AE=n，CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）
随堂练习
随练1.1如图，梯形ABCD中．AB∥CD．且AB=2CD，E，F分别是AB，BC的中点．EF与BD相交于点M．
（1）求证：△EDM∽△FBM； （2）若DB=9，求BM．
随练1.2如图l，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AO⊥BC于点0，F是线段AO上的点（与A，0不重合），∠EAF=90°，AE=AF，连结FE，FC，BE，BF． （1）求证：BE=BF；
（2）如图2，若将△AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF交AB于点G，交BE于点K．
①求证：△AGC∽△KGB；
②当△BEF为等腰直角三角形时，请你直接写出AB：BF的值．
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【初中数学中考一模冲刺】第09讲 相似(一)(学生版)A4
