1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编
计数问题、概率与统计部分
2019A 5、在1,2,3,L,10?中随机选出一个数a,在?1,?2,?3,L,?10?中随机选出一个数b,
则a2?b被3整除的概率为 .
◆答案:
37 1002★解析:首先数组?a,b?有10?10?100?种等概率的选法. 考虑其中使a?b被3整除的选
法数N.①若a被 3 整除,则b也被 3 整除.此时a,b各有3种选法,这样的?a,b?有
3?3?9组.若a不被 3 整除,则a2?1?mod3?,从而b??1?mod3?.此时a有7 种选法,b有4种选法,这样的?a,b?有7?4?28组. 因此N?9?28?37.于是所求概率为
37。 1002019A 8、将6个数2,0,1,9,20,19按任意次序排成一行,拼成一个8位数(首位不为0),
则产生的不同的8位数的个数为 . ◆答案:498
★解析:将2,0,1,9,20,19的首位不为0的排列的全体记为A,记A为A的元素个数。
易知A?5?5!?600.将A中2的后一项是0,且1的后一项是9的排列的全体记为B ;A中2的后一项是0 ,但1的后一项不是9的排列的全体记为C;A中1的后一项是9,但2的后一项不是0 的排列的全体记为D.易知B?4!,B?C?5!, B?D?4?4!, 即B?24,C?96,D?72.由B中排列产生的每个8位数,恰对应B中的2?2?4个排列(这样的排列中,20 可与“2, 0 ”互换,19可与“1, 9 ”互换).类似地,由C 或 D 中排列产生的每个 8 位数,恰对应C 或 D 中的2个排列.因此满足条件的 8 位数的个数为A\\?BUCUD??
2019B 5. 将5个数2,0,1,9,2019按任意次序排成一行,拼成一个8位数(首位不为0),
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BC?D3BC?D??A???600?18?48?36?498. 4242则产生的不同的8位数的个数为 . ◆答案:95
★解析:易知2,0,1,9,2019的所有不以0 为开头的排列共有4?4!?96个.其中,除了
?2,0,1,9,2019?和?2019,2,0,1,9?这两种排列对应同一个数20192019,其余的数互不相
等.因此满足条件的8位数的个数为96?1?95.
2019B 6. 设整数n?4,x?2y?1为 . ◆答案:51
★解析:注意到x?2y?1??n的展开式中xn?4与xy两项的系数相等,则n的值
????Cx?2nrnn?rr?0ny?1,其中xn?4项仅出现在求和指标r?4时
4?r的展开式Cx4nn?4?24y?1中,其xn?4项系数为??1?Cn;而xy项仅出现在求和指标
r?n?1时的展开式Cnn?14?x?24y?1n?3?n?1n?12中,其xy项系数为CnCn?1??1?n?3,
4n?12因此有??1?Cn?CnCn?1??1?,注意到n?4,化简得n?3???1?n?3故只能是n为?48,
奇数且n?3?48.解得n?51.
2018A 3、将1,2,3,4,5,6随机排成一行,记为a,b,c,d,e,f,则abc?def是偶数的概率为 ◆答案:
9 10★解析:先考虑abc?def为奇数时,abc,def一奇一偶,①若abc为奇数,则a,b,c为1,3,5的排列,进而d,e,f为2,4,6的排列,这样共有6?6?36种;②若abc为偶数,由对称性得,也有
6?6?36种,从而abc?def为奇数的概率为
72119 ?,故所求为1??6!101010
2018B 3、将1,2,3,4,5,6随机排成一行,记为a,b,c,d,e,f,则abc?def是奇数的概率为
1 10★解析:由abc?def为奇数时,abc,def一奇一偶,①若abc为奇数,则a,b,c为1,3,5的排列,进而d,e,f为2,4,6的排列,这样共有6?6?36种;②若abc为偶数,由对称性得,也有6?6?36721种,从而abc?def为奇数的概率为?。
6!10◆答案:
2017A 6、在平面直角坐标系xOy中,点集K??(x,y)|x,y??1,0,1?,在K中随机取出三个点,则这三个点中存在两点距离为5的概率为
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◆答案:
4 73★解析:由题意得K有9个点,故从中取出三个点共有C9?84种。
将K中的点按右图标记为A1,A2,?,A8,O,其中有8对点之间的距 离为5,由对称性,考虑取A1,A4两点的情况,则余下的一个点有
这样有7?8?56个三点组(不考虑顺序)。对每个Ai(i?1,2,?,8),K中恰有Ai?3,Ai?57种取法,
两点与之的距离为5(这里下标按模8可以理解),因而恰有?Ai,Ai?3,Ai?5?这8个三点组被计了两次,从而满足条件的三点组个数为56?8?48,进而所求的概率为
484?。 847
2017B 6、在平面直角坐标系xOy中,点集K??(x,y)|x,y??1,0,1?,在K中随机取出三个点,则这三个点两两之间距离不超过2的概率为 ◆答案:
3★解析:注意K中共有9个点,故在K中随机取出三个点的方式数为C9?84种,
5 14当取出的三点两两之间距离不超过2时,有如下三种情况: (1)三点在一横线或一纵线上,有6种情况,
(2)三点是边长为1,1,2的等腰直角三角形的顶点,有4?4?16种情况,
(3)三点是边长为2,2,2的等腰直角三角形的顶点,其中,直角顶点位于(0,0)的有4个,直角顶点位于(?1,0),(0,?1)的各有一个,共有8种情况.
综上可知,选出三点两两之间距离不超过2的情况数为6?16?8?30,进而所求概率为
305?. 8414
2016A 4、袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币,袋子B中装有4张5元纸币和3张1元纸币,现随机从两个袋子中各取出两张纸币,则A中剩下的纸币面值之和大于B中剩下的纸币面值之和的概率为 ◆答案:
9 35★解析:一种取法符合要求,等价于从A中取走的两张纸币的总面值a小于从B中取走的两张纸币的总面值b,从而a?b?5?5?10.故只能从A中国取走两张1元纸币,相应的取法数为
C32?3.又此时b?a?2,即从B中取走的两张纸币不能都是1元纸币,相应有C72?C32?18种
取法.因此,所求的概率为
3?18549??.
C52?C7210?2135
2016B 5、将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子A,B,C,D,E中,恰有两个球放在同一盒子的概率为
◆答案:
12 25★解析:样本空间中有53?125个元素.而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为
6012C32?P52?60.过所求的概率为p??.
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