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陈世民理论力学简明教程(第二版)课后答案

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第零章 数学准备

一 泰勒展开式

1 二项式的展开

mm-1mm-1m-2 f?x???1?x?m?1?mx+??x2?????x3?

2!3!2 一般函数的展开

f?xf??xf???x f?x??f?x0???0??x-x0???0??x-x0?2??0??x-x0?3?

1!2!3!特别:x0?0时,

f??0?f???0?2f????0?3f?x??f?0??x?x?x?1!2!3!

3 二元函数的展开(x=y=0处)

???f?1??2f?2f?2f?f22x?2xy+y?f?x,y??f?0???x+y???00000?22??!?x?y?y?y?2??x??x?

评注:以上方法多用于近似处理与平衡态处的非线性问题向线

性问题的转化。在理论力问题的简单处理中,一般只需近似到三阶以。

二 常微分方程

1 一阶非齐次常微分方程: y+P?x?y=Q?x?

?P?x?dx??P?x?dxdx? c?Qxe通解:y?e????????注:??P?x?dx,?Q?x?e?常数。

P?x?dxdx积分时不带任意常数,Q?x?可为

2 一个特殊二阶微分方程

y??A2y?B 通解:y=Kcos?Ax+?0??B 2A 注:K,?0为由初始条件决定的常量 3 二阶非齐次常微分方程 y?ay?by?f?x?

通解:y?y?y*;y为对应齐次方程的特解,y*为非齐次方程的一个特解。

非齐次方程的一个特解 (1) 对应齐次方程

y?ay?by?0

设y?e?x得特征方程?2?a??b?0。解出特解为?1,?2。 *若?1??2?R则y1?e?x,y2?e?x;y?c1e?x?c2e?x

1212*若?1??2?R则y1?e?x,y2?xe?x; y?e?x(c1?xc2)

111*若?12????i则y1?e?xcos?x,y2?e?xsin?x;

y?e?x(c1cos?x?c2sin?x)

(2) 若f?x??a0x2?b0x?c0为二次多项式

*b?0时,可设y*?Ax2?Bx?C *b?0时,可设y*?Ax3?Bx2?Cx?D

注:以上c1,c2,A,B,C,D均为常数,由初始条件决定。

三 矢量

1 矢量的标积

A?B=B?A=ABcos?=AxBx+AyBy+AzBz

注:常用于一矢量在一方向上的投影 2 矢量的矢积

?i? A?B=-(B?A)=ABsin?en=?Ax?B?xjAyByk??Az? Bz?? ?(AxBy?AzBy)i?(AzBx?AxBz)j?(AxBy?AyBx)k

四 矩阵

此处仅讨论用矩阵判断方程组解的分布情形。

?a11x1?a12x2?a13x3?0? ?a21x1?a22x2?a23x3?0 ?ax?ax?ax?0?311322333?a11令D???a21?a?31a12a22a32a13??a23? a33??*D=0时,方程组有非零解 *D?0时,方程只有零解

第一章 牛顿力学的基本定律

万丈高楼从地起。整个力学大厦的地基将在此筑起,三百年的人类最高科学智慧结晶将飘来他的古朴与幽香。此时矢量言语将尽显英雄本色,微积分更是风光占尽。

【要点分析与总结】 1 质点运动的描述

(1) 直线坐标系

r?xi?yj?zk??r?xi?yj?zka???r?xi?yj?zk

(2) 平面极坐标系

r?rer??rer?r?e?a?(r?r?2)er?(r??2r?)e?

(3) 自然坐标系

???et

a??et?v2?en

(4) 柱坐标系

a??et?v2?en

???e????e??zez〈析〉 上述矢量顺序分别为:i,j,k;er,e?,ek;et,en,eb;e?,e?,ez.

der??ek?er??e?dtde矢量微分:???ek?e????er

dtdek??ek?ek?0dt(其它各矢量微分与此方法相同) 微分时一定要注意矢量顺序

2 牛顿定律

惯性定律的矢量表述

d2r ma?m2?F

dt

(1) 直角坐标系中

?Fx?mx??Fy?my ??Fz?mz(2) 极挫标系中

?Fr?m(r?r?2)??F??m(r??2r?) ?F?0?k(3) 自然坐标系中

?F??m???2? ?Fn?m

????Fb?03 质点运动的基本定理 几个量的定义:

动量 P?m? 角动量 L?r?m??r?P 冲量 I?P2?P1 力矩 M?r?F 冲量矩 H?I2?I1??tMdt

1t2动能 T?m?2

(1) 动量定理 F?dP dtdP??Fe??0 edt12?方向上动量守恒: e(2) 动量矩定理 M?dL dt

陈世民理论力学简明教程(第二版)课后答案

第零章数学准备一泰勒展开式1二项式的展开mm-1mm-1m-2f?x???1?x?m?1?mx+??x2?????x3?2!3!2一般函数的展开f?xf??xf???xf?x??f?x0???0??x-x0???0??x-x0?2??0??x-x0?3?
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