=．
点评：本题主要考查轴对称﹣路线最短问题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握旋转的知识，此题难度一般．
19．P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的边长．
考点：正方形的性质；勾股定理；等腰直角三角形；旋转的性质。 专题：综合题。
分析：把△ABP顺时针旋转90°得到△BEC，根据勾股定理得到PE=2a，再根据勾股定理逆定理证明△PEC是直角三角形，从而得到∠BEC=135°，过点C作CF⊥BE于点F，△CEF是等腰直角三角形，然后再根据勾股定理求出BC的长度，即可得到正方形的边长． 解答：解：如图所示，把△ABP顺时针旋转90°得到△BEC， ∴△APB≌△CEB， ∴BE=PB=2a， ∴PE=
2
=2
2
a，
2
2
在△PEC中，PC=PE+CE=9a， ∴△PEC是直角三角形， ∴∠PEC=90°，
∴∠BEC=45°+90°=135°， 过点C作CF⊥BE于点F， 则△CEF是等腰直角三角形， ∴CF=EF=
CE=
a，
在Rt△BFC中，BC=即正方形的边长为
a．
==a，
点评：本题考查了正方形的性质，旋转变化的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理以及逆定理的应用，作出辅助线构造出直角三角形是解题的关键．
20．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB=80°，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA=30°，∠EBA=20°，求∠BED的度数．
考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质。 专题：几何综合题。 分析：作∠BCF=60°，分别交AC、BE于点F、G，构造出等边三角形△BCG，可以求出∠DCF与∠FCE的度数，并利用角边角证明△ABE与△ACF全等，根据全等三角形对应边相等得到BE=CF，然后求出△FGE也是等边三角形，再根据等边三角形的角的度数证明EF∥BC，推出∠AFE=80°，根据平角等于180°推出∠DFG=40°，再根据角的度数可以得到BD=BC=BG，然后推出∠DGF=40°，根据等角对等边的性质可得DG=DF，从而利用边边边证明△DFE与△DGE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DEF=∠BED，即可得解． 解答：解：作∠BCF=60°，分别交AC、BE于点F、G，连接EF，DG， ∵∠ABC=80°，∠EBA=20°， ∴∠GBC=80°﹣20°=60°， ∴△BGC为等边三角形， ∵∠DCA=30°，∠ACB=80°， ∴∠DCF=∠BCF﹣（∠ACB﹣∠DCA）=60°﹣（80°﹣30°）=10°，∠FCE=∠DCA﹣∠DCF=30°﹣10°=20°，
∴∠EBA=∠FCE，
又∵∠ABC=∠ACB=80°， ∴AB=AC，
在△ABE与△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴BE=CF，
∵BG=CG（等边三角形的三边相等） ∴FG=GE，
∴△FGE为等边三角形， ∴∠EFG=∠CBG=60°， ∴EF∥BC，
∴∠AFE=∠ABC=80°，
∴∠DFG=180°﹣80°﹣60°=40°①，
在△BCD中，∠BDC=180°﹣∠ABC﹣∠BCD=180°﹣80°﹣（80°﹣30°）=50°， ∴BD=BC=BG，
在△BGD中，∠BGD=（180°﹣20°）=80°，
∴∠DGF=180°﹣∠BGD﹣∠EGF=180°﹣80°﹣60°=40°②， ∴∠DFG=∠DGF， ∴DF=DG，
在△DFE与△DGE中，
，
∴△DFE≌△DGE（SSS）， ∴∠FED=∠BED，
∵∠GEF=60°（等边三角形的每一个角都等于60°）， ∴∠BED=∠GEF=30°．
故答案为：30°．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，巧妙运用题中的角的度数的关系并作出辅助线是解题的关键，难度较大，对同学们的能力要求较高．
初中几何常用方法
全等三角形辅助线
找全等三角形的方法：
（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；
（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：
①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种：
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．
2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
常见辅助线写法：
⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F
⑵过点A作BC的垂线，垂足为D ⑶延长AB至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D
⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点
初中经典几何题型及思想方法
