习题7-1
1. 已知函数f(x,y)?x2?y2?xytanx，试求f(tx,ty)． ytx22x?t(x?y2?xytan)?t2f(x,y)． tyy解 f(tx,ty)??tx???ty???tx??ty?tan222. 已知函数f(x,y)?(x?y)x?y,求f(2,3),f?x?y，y?．
解 f(2,3)=,15f?x?y，y?=(x?2y)x．
3. 已知f(x?y,y)?x2?y2,求f?x，y?． xyuuv解 令x?y?u , ?v?x?，则 , y?x1?v1?v2?u??uv?u?1?v?， f(u,v)???????1?v1?v1?v????22x2(1?y)y?? , (y??1)． 故 f?x，1?y4. 求下列各函数的定义域，并画出定义域的图形：
（1）z?ln(xy)； （2）z?arcsin(3?x2?y3)x?y2；
x2y2（3）z?ln(y?x)?； （4）z?1?2?2；
22ab1?x?yx（5）u?R2?x2?y2?z2?1x?y?z?r2222（R>r>0）;
解 （1）(x,y)x?0,y?0或x?0,y?0；
（2）(x,y)2?x?y?4,x?y2???222?；
2（3）y?x?0，x?0且1?x?y?0，故函数的定义域为，
D??(x,y)y?x?0,x2?y2?1?．
??x2y2??（4）?(x,y)2?2?1?．
ab????（5）R?x?y?z?0且x?y?z?r?0，故函数的定义域为
1
22222222D??(x,y,z)r2?x2?y2?z2?R2?．
5. 求下列各极限： （1）limx?0y?12?xy?41?xy； （2）； limx?0xyx2?y2y?01?cos(x2?y2)sin(xy)（3）lim； （4）lim； 222x2y2x?0x?2xyy?0(x?y)ey?0解 （1）limx?0y?11?xy=1； 22x?y（2）lim2?xy?4?xy?11=lim=lim=?；
x?0x?0xy?02+xy?4xy4（2+xy?4）xy?0y?0y?0（3）lim?1sin(xy)?1sin(xy)?lim???2 2x?2x?2?xxyxy?y?0y?0?1?cos(x2?y2)(x?y)e22x2y2（4）limx?0y?0?limx?0y?01ex22y1?cost2t4?lim?1?lim2?0 2t?0t?02tt6. 从limf(x,0)?0,limf(x,x?0x?012x)?，能否断定limf(x,y)不存在？
x?025y?0x?0y?0答 因为函数f(x,y)沿不同路径的极限不相等，所以极限limf(x,y)不存在．
y2?2x7. 函数z?2在何处是间断的？
y?2x2解 为了使函数的表达式有意义，需要y?2x?0，所以曲线y?2x?0上的点均
2y2?2x是函数z?2的间断点．
y?2x8. 证明：极限limx?y不存在。
x?0x?yy?0x?yx?lim=1；当点P(x,y)沿y轴x?yx?0x证 当点P(x,y)沿x轴?(0,0)时，limx?0y?0?(0,0)时，lim
x?yyx?y极限不存在． ?lim??1，所以limy?0x?yy?0?yx?0x?yx?0y?02
高等数学第3版(张卓奎 王金金)第七章习题解答
