一、函数的单调性的判定法
yy?f(x)ByAy?f(x)BAoaf?(x)?0bxoaf?(x)?0bx定理1 设函数 y?f(x)在 [a,b]上连续, 在 (a,b)内可导.
(1)如果在 (a,b)内 f?(x)?0,且等号仅在有限多个点处成立，
y?f(x)在 [a,b]上单调增加; 那么
(2)如果在 (a,b)内 f?(x)?0,且等号仅在有限多个点处成立， y?f(x)在 [a,b]上单调减少. 那么
证 ?x1,x2?(a,b),(x1?x2),应用拉格朗日定理,得
f(x2)?f(x1)?f?(?)(x2?x1)(x1???x2)x2?x1?0,(a,b)内, f?(x)?0,则 f?(?)?0,若在
?f(x2)?f(x1).故 y?f(x)在 [a,b]上单调增加. (a,b)内, f?(x)?0,则 f?(?)?0,若在
?f(x2)?f(x1).故 y?f(x)在 [a,b]上单调减少.
注：
?单调区间：使函数单调的区间称为单调区间.
?定理中换成各种区间(包括无穷区间)结论仍成立. ?驻点：使导数为零的点(即方程f?(x)?0的实根)叫做函数f(x)的驻点.例1. 判断函数 y?x?sinx在 [??,?]上的单调性. 证 因为所给函数在 [??,?]上连续，在 (??,?)内,y??1?cosx?0,且等号仅在 x?0处成立, 所以由定理1可知, 函数 y?x?sinx在 [??,?]上的单调增加.
例2 讨论函数y?e?x?1的单调性.解： 函数在定义域D:(??,??)上连续，xy??e?1，在(??,0)内,xy??0,?函数单调减少；在(0,??)内,y??0,?函数单调增加.注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．
讨论单调性的一般步骤: 1.确定函数
的定义域；
2.计算函数的一阶导数 3.求出使
的点及使
不存在的点； 的定义域分成若干部分
4.用所求之点，将函数 区间；
5.讨论一阶导数在各个部分区间上的符号（列表讨论之）.
例3. 确定函数 解: 函数
的定义域为 (??,??),2的单调区间.
f?(x)?6x?18x?12?6(x?1)(x?2)令 f?(x)?0,得 x?1,x?2xf?(x)f(x)故
(??,1)10(1,2)??201(2,??)?y2的单调增区间为 (??,1],的单调减区间为 [1,2].2[2,??);1o12x例4. 确定函数 解: 函数
2y??(x)??x3232?13的单调区间.
在定义域 (??,??)上连续，
2?x3?13?23xyy?3x23为不可导点，
xf?(x)f(x)故
(??,0)0不存在 (0,??)??ox在区间 (??,0]内单调减少； 在区间 [0,??)内单调增加.
说明:
1)单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如,
yy?3x2oyx2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如,
oy?x3x证明当 例5.
x时，e ?1?x.x证 令 f(x)?e?1?x,则当
时， 是单调递增的. 时，
f?(x)?e?1?0,故
而 即
xx所以当
e?1?x.总结：利用导数证明不等式的步骤
（1）设函数 f(x);（2）说明（3）由一点处函数值（如 f(x)的单调性；
x?0处），得出不等式.
1证明当 时，2 x?3?.例6.
x?1?证 令 f(x)?2x??3??,则
x??111f?(x)??2?2xx?1xxx??亦即
?1?即 2x??3???0,x??12x?3?(x?1).x内容小结 1. 可导函数单调性判别
f?(x)?0,x?If?(x)?0,x?I2. 曲线凹凸与拐点的判别
在 I 上单调递增 在 I 上单调递减
f??(x)?0,x?If??(x)?0,x?I拐点 — 连续曲线上凹凸分界点
+
–
4 单调性 - 图文
