鸡西市第十九中学学案
班级 姓名 学科 数学 课题 一元二次方程 课型 新课 时间 年 月 日 人教版 八年级下 学习知道什么是一元二次方程，一元二次方程的一般形式。 目标 会辨认一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项 。 重点 一元二次方程的概念及它的一般形式 。 难点 会辨认一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项 。 学习内容 【复习引入】 1、含有 的等式叫做方程。 2、含有 个未知数，并且未知数的次数是 的整式方程叫做 一元一次方程。 3、一元一次方程都可以化为最简形式 。 4、若方程ax-3=2的解是x=1，则a= 。 【新知探究】 问题 1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？ 2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。 3、一块面积是150cm2长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？ 问题2 某小区在两栋楼之间开辟面积为900 平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各是多少？ 如果设绿地宽为x米，那么它的长应是 米。 根据面积计算公式可列方程： 。 整理得： 。 观察以上整理后方程，它们两边都是 式，含有的未知数有 个， 未知数的最高次数是 。这样的方程叫做一元二次方程。 只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的 方程叫做一元二次方程。 任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为ax2+bx+c=0（a≠0）的一般形式（又叫标准形式）。其中ax2 叫做 ，a是二次项的系数； bx叫做 ，b是一次项的系数；c叫做 。 【思考】为什么要求a≠0？如果a=0，但b≠0，那么它应该是什么方程？ 例：把方程3 x（x-1）= 2（x-2）- 4化成一般形式，并写出它的二次项系数、 一次项系数及常数项。 解：去括号，得：_____________________________________ 移项，得：_______________________________________ 合并同类项，得方程的一般形式：_________________________________ 它的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。 注意：1、一元二次方程的一般形式中等号的左边最多三项，其中一次项、常数项可以不出现，但二次项必须存在，并且左边通常按未知数降幂排列。 2、等号的右边必须整理为0。 3、要说出项及系数必须先化为一般形式。 【当堂训练】 1、判断下列方程是不是一元二次方程？为什么？ （1）3x2-2y=0 （2）2xy=6 （3）x2-3x+1=x+5 （4）x2-3x+1=x2+5 （5）ax2-5x+2=0 （a为常数） （6）2x-1x2+x=3 （7）2x?1+4=3x2 （8）2x2-3x=1 （9）x2－1x－3=0 （10）4x2+3x－2=（2x＋1）2 1
2、指出下列一元二次方程的系数a、b、c分别是多少？ （1）5x2=6x-8 （2）12-2x2=0 （3）9x2=5 （4）3y2+1=23y （5）x（x-1）=0 （6）（x-2）（x-3）=0 【注意】二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. 3、把下列一元二次方程化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数及常数项分别是什么。 （1）x（1+2x）=5-3x （2）（x+2）2-（2x-1）2=0 （3）（2x+3）（x-1）=10 （4）x（x-2）+3x=1 4、已知关于x的方程（m2－4）x2+（m+2）x－1=0 （1） 当m取什么值时，这个方程是一元一次方程？ （2） 当m取什么值时，这个方程是一元二次方程？这时，它的二次项系数、一次项系数、常数项分别是什么？ 2、要使(k?1)xk?1?(k?1)x?2?0是一元二次方程，则k=_______. 3、已知关于x的一元二次方程(m?2)x2?3x?m2?4?0有一个解是0， 求m的值。 一元二次方程的根 了解一元二次方程根的概念，会判定一个数是否是一个一元二次方程的根及利用它们解决一些具体问题． 1．下面哪些数是方程2x2+10x+12=0的根？ -4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4． 2．你能用以前所学的知识求出下列方程的根吗？ （1）x2-64=0 （2）3x2-6=0 （3）x2-3x=0 3、 若x=1是关于x的一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)的一个根,求代数式 2014(a+b+c)的值 4、关于x的一元二次方程(a-1) x2+x+a 2-1=0的一个根为0,则求a的值 当堂训练 1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________． 2．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________． 3．方程（x+1）2+2x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________． 4．如果x=1是方程ax2+bx+3=0的一个根，求（a-b）2+4ab的值． 5．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0有一个根为0，求m的值。 6. 如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证：-1必是该方程的一个根． 2
鸡西市第十九中学学案
班级 姓名 学科 数学 课题 直接开平方法 课型 新课 时间 年 月 日 人教版 八年级下 学习目标 了解形如（x?m)2?n(n?0)的一元二次方程的解法 会用直接开平方法解一元二次 重点 会用直接开平方法解一元二次方程 难点 理解直接开平方法与平方根的定义的关系 学习内容 【复习引入】 1、如果x2?a那么x叫做a的______,记作________; 2、如果x2?4,那么记作________; 3、3的平方根是 ；0的平方根是 ；-4的平方根 。 【新知探究】 问题1、如何解方程：x2?2?0？ 问题2、比较用直接开平方法解方程和求一个非负数的平方根的差异。 【归纳】一般地，对于形如x2 = a （a≥0）的方程，根据平方根的定义，可解得x = ，这种解一元二次方程的方法叫直接开平方法。 例1、解下例方程 1、x2?4?0 2、4x2?1?0 提出问题：你是怎么解一元二次方程的？每一步的依据是什么？你有什么经验能与大家交流一下吗？
例2、解方程：(x?1)2?2 分析：只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解； 【练习】 解下例方程： 1、（x－1）2－4 = 0 2、12（3－x）2－3 = 0 提出问题：通过这几个小题你有什么收获？ （如果一个一元二次方程具有（x＋m）2= n（n≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解。 注意：解一元二次方程的实质是: 把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程．我们把这种思想称为“降次转化思想”． 归纳： （1）能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？ ①ax2+c=0 ②（x+m）2 +n= 0 ③ a（x+b）2+c=0 (2)用直接开平方法解一元二次方程的步骤是什么？ 首先将一元二次方程化成左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是一个非负数的形式，然后用平方根的概念求解。 （3）如果方程能化成（x+a）2=b（b≥0）的形式，那么可得 【当堂训练】 1、用直接开平方法解方程（x＋h）2=k ，方程必须满足的条件是（ ） A．k≥o B．h≥o C．hk＞o D．k＜o 2、方程（1-x）2=2的根是（ ） A.-1、3 B.1、-3 C.1-2、1+2 D.2-1、2+1 3
3、下列解方程的过程中，正确的是（ ） (1)x2=-2,解方程，得x=±2 (2)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4 (3)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1=74;x2=14 (4)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4 填空题 1．若8x2-16=0，则x的值是_________． 2．如果方程2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是________． 3．如果a、b为实数，满足3a?4+b2-12b+36=0，那么ab的值是_______． 解下例方程 x2＝169； 45－x2＝0； x2-12=0 4x2=9 2x2-3=0 12y2－25＝0； 75－x2＝0； 4x2－1＝0 16x2－25＝0.
x2-214=0 3x2-163=0 (2x+1)2=25； 81(x-2)2=16 ； 3(2x+1)2=12 (x?5)2?(3x?2)2 x2+2x+1=0； x2+x+14=0 x2+4x+4=0 x2-6x+9=0 x2-4x+4=0 9x2-6x+1=0=0 4
《直接开平方法》专题
班级 姓名
不要被失败吓到，不要被胜利冲昏头脑。
例：用直接开平方法解方程：49(x?3)2?16(x?6)2 解：开平方得，7(x?3)??4(x?6)
由?7(x?3)?4(x?6)或由7(x?3)??4(x?6) 得?x31?15.，x2??11. 【点评】直接开平方法的要点是：
通过等式变形变出x2?n或(x?m)2?n的形式，再直接开平方； 另外注意方程解得书写格式x1、x2. 用直接开平方法解下列一元二次方程
4x2?3?5 (x?2)(x?2)?21 (2x）2=9;
12(2y?1)2?15 4（x-3）2=25 (3x?2)2?24
?1-3x?2?5?0 x2+2x+1=4 x2?6x?9?(5?2x)2
16(x?1)2?9(x?1)2 49(x?3)2?16(x?6)2 (x?2)2?(1?2)2
x2+4x+4=0 x2-6x+9=16 x2-4x+4=10 x2+x+14=4
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一元二次方程解法专题训练导学案(直接开平方、配方法、求根公式、十字相乘、因式分解)
