第18届希望杯全国数学邀请赛高一 第2试
一．选择题（40分）
1．角α?cos2007?在（ ）
（A）第1象限（B）第2象限（C）第3象限（D）第4象限 2．在△ABC中，若sinA?221,sinB?，则sinC的取值有（ ） 7522（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
3．在△ABC中，若sinA?sinB?sinC?0，且sinA?2sinBsinC，则△ABC是（ ）
（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）等边三角形（D）等腰直角三角形
4．当x?[0,1)时，若函数f(x)?log2(x2?ax?1?a)有意义，则a的取值范围是（ ） （A）a?1（B）a?1（C）a?1（D）a?1 5．设命题甲：x?2或y?1；乙：x?3且y?2。则“命题甲不成立”是“命题乙不成立”的（ ） （A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）非充分非必要条件 6．设点P在△ABC内，提出以下命题：
????????????（1）存在正数λ1,λ2，使AP?λ1AB?λ2AC；
????????????????????????（2）如果AP?BC?0且BP?AC?0，那么CP?AB?0；
????????????????????????（3）如果3AP?AB?AC，那么3BP?BC?BA；
????????????（4）如果PA?PB?PC，那么△ABC是锐角三角形。
在这4个命题中，正确命题的个数为（ ） （A）1（B）2（C）3（D）4
7．Let y =f(x) be a function on R , and f(x)?1?0,then f(x) is（ ）
f(x?2)（A）not aperiodic function（B）a aperiodic function with the least period 4
（C）a aperiodic function with the least period 8（D）a aperiodic function with the least period 16 8．The minimum of x?x?1?x?2????x?2007 is （ ）
（A）10032（B）10042（C）20062（D）20072
9．O是平面内一点，A、B、C是平面内与O不共线的三个点，P是BC的中点且使等式
????????????????ABACλ(?????????)?OA?OP成立，则△ABC是（ ） ABAC（A）直角三角形（B）等边三角形（C）等腰三角形（D）不等边三角形
210．若关于x的二次函数y?x?3mx?3的图象与端点在(,)和（3，5）的线段只有一个交点，
1522则m的值可能是（ ） （A）
511（B）1（C）（D） 223a二．填空题（40分）
11．设实数a1,a2,a3成等差数列，且a2?4。若定义bn?2n，则b1b3的值是 . 12．函数y?Asin(ωx?φ)(A?0,ω?0)在同一周期内，当x?π7π时，ymax?3；当x?时，1212ymin??3，则函数y的解析式是 .
213．已知定义在R上的偶函数f(x)在(??,0]上是增函数，若f(1)?f(x?x?1)，则x的取值
范围是 .
14．在平面上给定正六边形A1A2A3A4A5A6，对于该平面内任意一点M，若适当选取表达式
???????????????????????????????MA1?MA2?MA3?MA4?MA5?MA6中的正负号，则可使该式为零，如 .
ax2?215．已知奇函数f(x)?在区间(??,?1)上单调递增，且f(1)?2,f(2)?4，则c= ,b
bx?c的范围是 .
16．已知等差数列?an?的首项为a1，前n项的和为Sn使等式
Sn?1n?2成立，则an＝ . ?Snn17．函数y?2x?3?4x?1?3x?8?6x?1的最小值为 ，此时x＝ .
29??,?x??，则f(x)的最大值为 . x2??19．不等式(x2?1)2007?x4014?2x2?1?0的解集为 .
20．函数y?x3?6x2?12x(x?0)的反函数的解析式是y＝ ，它的定义域是 . 18．已知函数f(x)?min?x?1,三．解答题（10＋15＋15＝40分）
π5?y?π,sin(x?y)?。 213x1（1）若tan?，求cos2x和cosy的值；
22（2）比较siny与sin(x?y)的大小并说明理由。
1222．已知函数y?f(x)?x?4x?16?a，且当x?[0,b]时，y?[0,3b]，求a,b的值。
421．已知0?x?
23．将同时满足下列条件的正整数从小到大排列成数列?an?：（1）能同时表示成2007个相邻正整数的和；（2）能被5整除，也能被7整除。求数列?an?的通项公式。
2008年高一希望杯数学竞赛 Word版
