第十四节 定积分与微积分基本定理（理）
时间：45分钟分值：75分
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1
1. （2013江西卷）若S1 2x2dx, S2= ；dx, S3 = 2exdX，贝U Si, =
1 1 1
S2, S3的大小关系为（）
B. S2
D. S3
解析本题考查微积分基本定理. 51 = 2x2dx= \|2x3= 3.
7
1
1
52 = 2xdx = In x|2= ln2— ln1 = ln2.
1
53 = 2e^dx= ex|2 = e2— e= e（e— 1）.
1
令 e= 2.7,— S3>3>S1>S2.故选 B. 答案 B
2. （2014?河南联考）已知/（f /（尤）d%等于
A. 3 B. 4 C. 3.5 D. 4.5
解析
1
x）=2 - ，则 1x1 (x^O) , r 1 vl - p /(X)=2 -
h +工 (主
二
_x
/(巧
L
)dx +「f( x ) dx
J
-1
J
o
0 -1
(2-x )dr = I 2.1 + —X
c =3. 5.
答案 C
2
(2 + x) cLv -i + r i八 2x - —x
3.如图所示，图中曲线方程为 y = x2— 1, 用定积分表达围成封 闭图形（阴影部分）的面积是（ ）
x2— 1
A.
dx
2(x — B.
1)dx
2
2
C. 2|x2—
1|dx D. 1(x2 —
1)dx+ 解析面积S=
0 1
2
(x2 — 1)dx
1
(1 — x2)dx + 2(x2 — 1)dx
2
|x2 — 1|dx,故选 C.
0
答案 C
4. （2012湖北卷）已知二次函数y = f（x）的图象如图所示，贝S它与 x轴所围图形的面积为（ ）
2
2n A. ~5 eq 解析
3 由图象知 =1 -X\\AS= (1 - J)dx
答案 B
5. (2013湖北卷)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情 况而刹车，以速度v(t)= 7-3t +
25
f+否的单位:
s, v的单位: m/s) 行
驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是(
11 A . 1 + 25ln5 C. 4+25ln5
B. 8 + 25ln§ D. 4 + 50ln2
)
25 解析令 v(t)= 0,7- 3t + 0
??? 3t2-4t-32 = 0,A t = 4,则汽车行驶的距离为 25 7
— 3t+ 1 +1 dt=
3 4
=
v(t)dt = 4
0 0
3 3
7t-尹+ 25ln 1+1 14= 7X 4-寸 42 + 25ln5-0=4 + 25ln5，故选
3
C.
答案 C
6. （2014武汉调研）如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形
1
区域，E是D内位于函数y= 1（x>0）图象下方的区域（阴影部分），
从
ZV
D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为（
ln2 A.
B1-ln2 2 - D. ln2 2
1 + ln2 C. 2 解析
1
函数（.r >0）图象与j = 2的交点坐标
/ 1
\\
1
为、2|,阴影部分面积可由直线x二斗分为两
I 2丿 2 部分，故阴影部分面积为S現彭二5】+ ）二} *2
+ J
二 I + （\\nx） | { - I — In * 二 1 + 1 门2.矩
形面积为2,则点M取自E内的概率为P二I ￥也 4
答案 C
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7. (2013湖南卷)若Tx2dx= 9,则常数T的值为 ____________ .
0
x3 T3
解析 T xdx=3
T2
0
T|
=
~3 = 9,二 T= 3.
答案 3
8. ___________________________________________ (2014厦门市质检)计算：Yx2+寸1_x2)dx= ______________________ .
0
解析
n
1
(x + 1 — x)dx= xdx + 1— xdx 为+扛1+；
2
2
12
1
2
=
0 0 0
答案1+
1 9. 已知函数y = f(x)的图象是折线段ABC,其中A(0,0)、B0 5、 C(1,0).函数 y= xf(x)(0
象与x轴围成的图形的面积为 _________ .
解析 设直线为y= kx+b,代入A, B两点，得y= 10x. 1
5 = c k+ b,
代入 B, C 两点，贝S 2 二 k=— 10, b= 10.
0= k+ b,
1
10x, 0< x< ^,
1
—10x + 10, x< 1.
10x2,
??? y=xf(x) =
5
二 f(x)=
0< x < 2
1
