第十三讲：反比例函数
知识梳理
知识点l. 反比例函数的概念 重点：掌握反比例函数的概念 难点：理解反比例函数的概念
一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成y?的形式，那么称y是x的反比例函数。 反比例函数的概念需注意以下几点： （1）k是常数，且k不为零； （2）
k-1
或y=kx（k为常数，k?0）x2k中分母x的指数为1，如，y?2就不是反比例函数。
xx（3）自变量x的取值范围是x?0的一切实数. （4）自变量y的取值范围是y?0的一切实数。 例1、如果函数y?(m?1)xm2?2为反比例函数，则m的值是 （ ）
A 、?1 B、0 C 、1 D、1
2解题思路：由反比例函数的定义可知mm=-1
解答：A
2?2=-1，解得m=±1,但须考虑(m?1)≠0，则
练习当n取什么值时，y＝（n+2n）x答案：当n＝-1时，
知识点2. 反比例函数的图象及性质 重点：掌握反比例函数的图象及性质 难点：反比例函数的图象及性质的运用
2
是反比例函数?
反比例函数y?k的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限x或第二、四象限。它们关于原点对称、反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交。 画反比例函数的图象时要注意的问题： （1）画反比例函数图象的方法是描点法；
（2）画反比例函数图象要注意自变量的取值范围是x?0，因此不能把两个分支连接起来。 （3）由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的接近坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势。
反比例函数的性质
y?k(k?0)的变形形式为xy?k（常数）所以： x（1）其图象的位置是：
当k?0时，x、y同号，图象在第一、三象限； 当k?0时，x、y异号，图象在第二、四象限。 （2）若点(m,n)在反比例函数y?函数的图象关于原点对称。
（3）当k?0时，在每个象限内，y随x的增大而减小； 当k?0时，在每个象限内，y随x的增大而增大； 例1如图，函数y＝
k
的图象上，则点（-m,-n）也在此图象上，故反比例x
k与y＝-kx+1（k≠0）在同一坐标系内的图像大致为（） x
解题思路：本题考查反比例函数图像与性质的应用，因为一次函数y＝-kx+1与y轴的
交点为（0，1），所以结论B和C都要可以排除.A中直线y＝-kx+1经过第一、二、四象限，-k＜0，则k＞0，而k＞0时，双曲线y＝除.故选D.
k两分支各在第一、三象限，所以结论A可以排x例2当n取什么值时，y＝（n+2n）x个象限内，y随x的增大而增大或是减小?
2
是反比例函数?它的图像在第几象限内?在每
解题思路：本题考察反比例函数的定义与性质，根据反比例函数的定义y=可知，要本题是反比例函数，必须且只须n+2n≠0且n+n-1=-1.
2
2
k（k≠0） x解：y＝（n+2n）xn+2n≠0，n+n-1＝-1
2
2
2
是反比例函数，则
∴n≠0且n≠-2，n＝0或n＝-1. 故当n＝-1时，y＝（n+2n）x∵k＝-1＜0，
∴双曲线两支分别在二、四象限内，并且y随x的增大则增大. 练习1已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y?若x1?0?x2，则有（ ） A．y1?0?y2
B．y2?0?y1 C．y1?y2?0 D．y2?y1?0
2
是反比例函数y＝-
k. xk（k?0）图象上的两点， x2矩形面积为4，它的长y与宽x之间的函数关系用图象大致可表示为（ ）
答案：1.A 2.B
知识点3. 反比例函数解析式的确定。
重点：掌握反比例函数解析式的确定 难点：由条件来确定反比例函数解析式
（1）反比例函数关系式的确定方法：待定系数法，由于在反比例函数关系式y?k中，x只有一个待定系数k，确定了k的值，也就确定了反比例函数，因此只需给出一组x、y的对应值或图象上点的坐标，代入y?
k
中即可求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。 x
（2）用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： ①设所求的反比例函数为：y?
k
（k?0）； x
②根据已知条件，列出含k的方程； ③解出待定系数k的值； ④把k值代入函数关系式y?k中。 x例反比例函数的图象经过A（1，-2），求反比例函数的关系式 解题思路：设反比例函数的关系式为y?所求反比例函数的关系式为y?kk，把点A（1，-2）代入y?可得k=-2则xx?2 x练习．已知点(?3,3)是反比例函数图象上的一点，则此反比例函数图象的解析式是____________________________．
答案：y??3 x知识点4. 用反比例函数解决实际问题 反比例函数的应用须注意以下几点：
①反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题。
②针对一系列相关数据探究函数自变量与因变量近似满足的函数关系。 ③列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围。
例某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日
销售量y之间有如下关系：
x（元） y（元） 3 20 4 15 5 12 6 10 （1） 根据表中的数据，在平面直角坐标系中描出实数对（x，y）的对应点；
（2） 猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象； （3）设经营此卡的销售利润为w元，试求出w与x之间的函数关系式，若物价局规定此卡的售价最高不超过10元/个，请求出当日销售单价定为多少元时，才能获得最大销售利润？ 解题思路：（1）注意两个变量之间的关系。（2）观察数据特点xy=60,可知y与x之间的反比例函数关系；（3）注意销售利润=（销售单价-进价）×销售数量即：w=(x-2) y= (x-2) 则 y=60-
[来源:学科网]60 x120 由于x≤10当x=10时y最大 x
[来源:学_科_网Z_X_X_K]
练习
某气球内充满了一定质量的气球,当温度不变时,气球内气球的压力p(千帕)是气球的体积V(米)的反比例函数,其图象如图所示(千帕是一种压强单位)（1）写出这个函数的解析式；
（2）当气球的体积为0.8立方米时,气球内的气压是多少千帕？
（3）当气球内的气压大于144千帕时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积应不小于多少立方米？ 答案：（1）p?2
[来源:学&科&网Z&X&X&K]
962 （2）120 （3） v3
知识点5.反比例函数综合
2010年中考数学一轮复习 - 第十三讲反比例函数
