所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
极值点偏移问题的处理策略
所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使
得函数图像没有对称性。若函数f(x)在x?x0处取得极值，且函数y?f(x)与直线y?b交于A(x1,b),B(x2,b)两点，则AB的中点为M(所示.
x1?x2x?x,b)，而往往x0?12.如下图22
极值点没有偏移
此类问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策。而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的。不含参数的如何解决？含参数的又该如何解决，参数如何来处理？是否有更方便的方法来解决？其实，处理的手段有很多，方法也就有很多，我们先来看看此类问题的基本特征，再从几个典型问题来逐一探索！ 【问题特征】
【处理策略】
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！
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所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
一、不含参数的问题.
例1.（2010天津理）已知函数f(x)?xe(x?R) ，如果x1?x2，且f(x1)?f(x2) ， 证明：x1?x2?2.
?x?x【解析】法一：f?(x)?(1?x)e，易得f(x)在(??,1)上单调递增，在(1,??)上单调递减，x???时，
f(x)???，f(0)?0，x???时，f(x)?0， 函
数f(x)在x?1处取得极大值f(1)，且f(1)?1,如图所示. e由f(x1)?f(x2),x1?x2，不妨设x1?x2，则必有0?x1?1?x2， 构造函数F(x)?f(1?x)?f(1?x),x?(0,1]， 则F?(x)?f?(1?x)?f?(1?x)?2x(e?1)?0，所以F(x)在x?(0,1]上单调递增，x?1xeF(x)?F(0)?0，也即f(1?x)?f(1?x)对x?(0,1]恒成立.
由0?x1?1?x2，则1?x1?(0,1]，
所以f(1?(1?x1))?f(2?x1)?f(1?(1?x1))?f(x1)?f(x2)，即f(2?x1)?f(x2)，又因为2?x1,x2?(1,??)，且f(x)在(1,??)上单调递减， 所以2?x1?x2，即证x1?x2?2.
法二：欲证x1?x2?2，即证x2?2?x1，由法一知0?x1?1?x2，故2?x1,x2?(1,??)，又因为f(x)在(1,??)上单调递减，故只需证f(x2)?f(2?x1)，又因为f(x1)?f(x2)， 故也即证f(x1)?f(2?x1)，构造函数H(x)?f(x)?f(2?x),x?(0,1)，则等价于证明
H(x)?0对x?(0,1)恒成立.
由H?(x)?f?(x)?f?(2?x)?1?x2x?2(1?e)?0，则H(x)在x?(0,1)上单调递增，所以xeH(x)?H(1)?0，即已证明H(x)?0对x?(0,1)恒成立，故原不等式x1?x2?2亦成立.
法三：由f(x1)?f(x2)，得x1e?x1?x2e?x2，化简得ex2?x1?x2…?， x1同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 2
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
不妨设x2?x1，由法一知，o?x1?1?x2.令t?x2?x1，则t?0,x2?t?x1，代入?式，得e?tt?x1t2t，反解出x1?t，则x1?x2?2x1?t?t?t，故要证：x1?x2?2，x1e?1e?1即证：
2t?t?2，又因为et?1?0，等价于证明：2t?(t?2)(et?1)?0…?， te?1ttt构造函数G(t)?2t?(t?2)(e?1),(t?0)，则G?(t)?(t?1)e?1,G??(t)?te?0， 故G?(t)在t?(0,??)上单调递增，G?(t)?G?(0)?0，从而G(t)也在t?(0,??)上单调递增，G(t)?G(0)?0，即证?式成立，也即原不等式x1?x2?2成立. 法四：由法三中?式，两边同时取以e为底的对数，得x2?x1?lnx2?lnx2?lnx1，也即x1x2?1lnx2?lnx1x2?x1x2x1xlnx2?lnx1?ln?ln2， ?1，从而x1?x2?(x1?x2)x2?x1x2?x1x1x2?1x1x2?x1x1令t?x2t?1(t?1)，则欲证：x1?x2?2，等价于证明：lnt?2…?， x1t?1t2?1?2tlnt(t?1)lnt2构造M(t)?， ?(1?)lnt,(t?1)，则M?(t)?2t(t?1)t?1t?1又令?(t)?t?1?2tlnt,(t?1)，则??(t)?2t?2(lnt?1)?2(t?1?lnt)，由于t?1?lnt对?t?(1,??)恒成立，故??(t)?0，?(t)在t?(1,??)上单调递增，所以?(t)??(1)?0，从而M?(t)?0，故M(t)在t?(1,??)上单调递增，由洛比塔法则知：
2limM(t)?limx?1(t?1)lnt((t?1)lnt)?t?1?lim?lim(lnt?)?2，即证M(t)?2，即证
x?1x?1x?1?t?1(t?1)t?式成立，也即原不等式x1?x2?2成立.
【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、二利
用构造新的函数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的. 二、含参数的问题.
x例2.已知函数f(x)?x?ae有两个不同的零点x1,x2，求证：x1?x2?2.
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ 3
(新)极值点偏移问题的处理策略及探究
