概率第四章答案

由天下分享时间：2024/12/20 19:12:47 加入收藏我要投稿点赞

所以 0?D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2?XYD(X) ?D(Y) nn?2?XY, 故?XY=??1. 24??1 0 1 0.07 0.18 0.15 0.08 0.32 0.20 34.设随机变量X和Y的联合概率分布为 X 0 1 Y 试求X和Y的相关系数ρ. 【解】由已知知E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而XY的概率分布为

YX 0 ??1 P 所以E（XY）=??

0.08

0.72

1 0.2 Cov(X,Y)=E(XY)??E(X)·E(Y)=0.12??从而

?XY

35.对于任意两事件A和B，0

ρ=

P?AB??P(A)?P(B)P(A)P(B)P(A)P(B)为事件A和B的相关系数.试证：

（1）事件A和B独立的充分必要条件是ρ=0；（2） |ρ|≤1. 【证】（1）由ρ的定义知，ρ=0当且仅当P(AB)??P(A)·P(B)=0.

而这恰好是两事件A、B独立的定义，即ρ=0是A和B独立的充分必要条件. (2) 引入随机变量X与Y为

?1,若A发生,???1,若B发生,X?? Y??

???0,若A发生;?0,若B发生.由条件知，X和Y都服从0??1分布，即

11?0?0 Y~? X~?1?P(A)P(A)1?P(B)P(B)??从而有E(X)=P(A),E(Y)=P(B),

D(X)=P(A)·P(A),D(Y)=P(B)·P(B),

Cov(X,Y)=P(AB)??P(A)·P(B)

所以，事件A和B的相关系数就是随机变量X和Y的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|ρ|≤1. 36. 设随机变量X的概率密度为

?1?2,?1?x?0,??1fX(x)=?,0?x?2,

?4其他.?0,??令Y=X2，F（x,y）为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求：

(1) Y的概率密度fY(y)； (2) Cov(X,Y); (3)F(?12,4). 解： (1) Y的分布函数为

FY(y)?P{Y?y}?P{X2?y}.

当y≤0时， FY(y)?0，fY(y)?0；当0＜y＜1时，

FY(y)?P{?y?X?y}?P{?y?X?0}?P{0?X?y}?34y，fY(y)?38y；

当1≤y<4时， FY(y)?P{?1?X?0}?P{0?X?y}?12?14y f1Y(y)?8y；

当y≥4时，FY(y)?1，fY(y)?0. 故Y的概率密度为

??38y,0?y?1,?f0?Y(y)??1?,1?y?4,

?8y??0, 其他.(2) E(X)=?+?01-?xfX(x)dx??-12xdx??2104xdx?14, E(Y)=E(X2)=?+?201-?xfX(x)dx??-12x2dx??2104x2dx?56), E(XY)=E(Y2)=?+?-?x3f01X(x)dx??-12x3dx??2104x3dx?78, 故 Cov(X,Y) =E(XY)-E(X)?E(Y)=23.

(3) F(?12,4)?P{X??112,Y?4}?P{X??2,X2?4} ?P{X??112,?2?X?2}?P{?2?X??2}

?P{?1?X??112}?4.

37. 设随机变量X服从参数为1的泊松分布,求P{X=E(X2)}.

e?1解：因为其分布律为P{x=k}=k!,k=0,1,2,…,

2??k2e?1??所以 E(X)??1k?1k?1?1k?0k!?e??1)!?ek?1(k?k?1(k?1)! ?e?1???1?1???k?2(k?2)!??k?1(k?1)!?

? ?e?1(e?e)?2.所以 P{x?E(X2)}?P{X?2} ?e?1e?1

2!?2.