四川省自贡市初2019届毕业生学业考试 数学试题考点分析及解答
一.选择题（共12个小题，每小题4分，共48分；在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. ?2019的倒数是 （ ） A.?2019 B.?11 C. D.2019 20192019
考点：三视图之俯视图. 分析：几何体的俯视图是从上面往下面看几何体得到的平面图形，要注意看得见的轮廓线画成实线，看不见的轮廓线画成虚线；C符合这一要求.故选C.
6.已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为 （ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 考点：三角形三边之间的关系. 分析：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；所以4?1?第三边?4?1 ，即3?第三边?5；第三边取整数为4，4?4?1?9 .故选C.
7.实数m,n在数轴上对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是 A. m?1 B. 1?m?1 C. mn?0 D. m?1?0 考点：数轴上点的坐标的意义，实数的运算.
2考点：倒数. 分析：1除以一个不 等于0的数的商就是这个数的倒数；实际上抓住互为倒数的两个数乘积为1就行了. ?2019的倒数?1 .故选B. 20193352.近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片.现在中国高速铁路营运里程将达到23000公里，将23000用科学记数法表示应为 （ ） A.2.3?10 B.23?10 C.2.3?10 D.0.23?10 考点：科学记数法.
分析：把一个数A 记成a?10的形式（其中a是整数为1位的数，n恰好为原数的整数的位数减1 ）.就为科学记数法，23000?2.3?10 .故选A.
3.下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （ ） CABD
考点：轴对称图形、中心对称图形.
分析：轴对称图形、中心对称图形都是指的一个图形，只是运动方式不一样；轴对称图形是沿某直线翻折与自身重合，中心对称图形是绕着一个点旋转180°后与自身重合，D选择支符合这一
4n4（ ）
m01n分析：∵m?0 ∴1?m?1；也可以用“赋值法” 代入计算判断.故选B.
8.关于x的一元二次方程x?2x?m?0 无实数根，则实数m的取值范围是 （ ） A. m?1 B. m?1 C. m?1 D. m?1 考点：一元二次方程跟的判别式、解不等式.
分析：∵原一元二次方程无实数根，∴△=??2??4?1?m?0 ，解得m?1；故选D.
29.如一次函数y?ax?b与反比例函数y?c2 的图像如图所示，则二次函数y?ax?bx?c的x特点.故选D.
4.在5轮“中国汉字听写大赛”选拔赛中，甲、乙两位同学的平均分都是90分，甲的成绩方差是15，乙的成绩的方差是3，下列说法正确的是 （ ） A.甲的成绩比乙的成绩稳定 B.乙的成绩比甲的成绩稳定 C.甲、乙两人的成绩一样稳定 D.无法确定甲、乙的成绩谁更稳定 考点：方差的性质.
分析：在同样条件下，样本数据的方差越大，波动越大；方差越小，波动越小，B选择支符合这一性质.故选B.
5.下图是水平放置的全封闭物体，则它的俯视图是
y（ ） 大致图象是
yyyy x OxxxxOOOO CABD第9题图
考点：一次函数、二次函数以及反比例函数的图象及其性质.
分析：根据本题的原图并结合一次函数和反比例函数图象的位置可知a?0,b?0,c?0，所以对
于二次函数y?ax?bx?c的图象的抛物线开口向下，对称轴直线x??（ ） 对称轴在y的右侧），与y轴的正半轴，A符合这一特征；故选A.
2b?0 （即抛物线的2a10.均匀的向一个容器内注水，在注水过程中，水面高度h与时间t的函数关系如图所示，则该
hHABCD第5题图CDBE
FOAx容器是下列中的 （ ）
考点：函数图象及其性质的实际应用.
分析：根据图象折线可知是正比例函数和一次函数的函数关系的大致图象；切斜程度（即斜率）可以反映水面升高的速度；因为D几何体下面的圆柱体的底圆面积比上面圆柱体的底圆面积小,所以在均匀注水的前提下是先快后慢;故选D.
11.图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近 （ ）
考点：直角三角形、等腰三角形、相似三角形以及圆的有关性质，勾股定理、三角函数等. x= 5-分析：
见后面的示意图.根据题中“点C、F分别是直线x??5和x轴上的动点，CF?10”可以得到线段CF的中点D的运动 “轨迹”是以点M为圆心5半径的圆，当D运动到x轴上方的圆上D' 处恰好使AD'圆相切于D'时，此时的图中的?1最大，则?BAD'最小，此时△ABE面积最小. 在Rt△MD'A中，由坐标等可求AM?13,MD'?5 AD'?132?52?12. 根据题意和圆的切线的性质容易证明△AOE∽△AD'M ，∴∴BE?8?OEAO?MD'AD' ，即
OE8?512解得：OE?10 ,31014 .∵A、B 两点的坐标分别为?8,0?，??0,8? 且?AOB?90 ∴
33AB?82?82?82 ;过点EN?AB于N ,容易证明△ENB是等腰直角三角形 ∴147717NE?NB??2?2 ∴AN?AB?NB?82?2?2 3333NE7177y 在Rt△ANE中，tan?BAD?.故选B. ?2?2?C'AE3317B点评：
本题首先挖出点D的运动 “轨迹”是一个圆，然后在此基 础上切入探究三角形面积最小时点D的特殊位置，并利用关联 知识来使问题得以解决.本题综合知识点较多，技巧性墙，并 渗透“轨迹”思想，是一道高质量的考题.
CDD'EFMF'O1N43A. B. 5421C. D.
32考点：正方形和圆的有关性质和面积计算.
分析：连接正方形的对角线；根据圆周角的推论可知是正方形的外接圆的直径；设正方形的边长为a，则正方形的面积为a；根据正方形的性质并利用勾股定理可求正方形的对角线长为
2Ax第Ⅱ卷 非选择题 （共102分）
注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨水铅签字笔在答题卡上题目所指示区域内作答，作图题 可先用铅笔绘出，确认后用0.5毫米黑色墨水铅签字笔描清楚，答在试题卷上无效. CA二.填空题(共6个小题，每题4分，共24分)
13. 如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD,?1?120; E则?2 = .
考点：平行线的性质、邻补角的定义.
A略解： ∵AB∥CD ∴?1??3?120 ∵?2??3?180 ∴?2?180?120?60
故应填：
BE1?2?212a，所以圆的面积为???a2?a2?2a ，则圆的半径为a??a ，所以它们
?2??22??a22的面积之比为??0.6366，与C的近似值比较接近； 故选C.
12??a212.如图，已知A、B 两点的坐标分别为?8,0?，?0,8?，点C、F分别是直线x??5和x轴上
的动点，CF?10,点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E；当⊿ABE面积取得最小值时，tan?BAD的值是 （ ）
22F1BD第13题图C87A. B.1717 45C. D.
99
23DF60 .
14.在一次12人参加的数学测试中，得100分、95分、90分、85分、75分的人数分别为1、3、
4、2、2，那么这组数据的众数是 . 考点：众数的定义.
分析：众数是指一组 数据中出现次数最多的数据，90分的有4人，次数最多；
故应填：
??、?? 如图所示，则cos?????= .
考点：正三角形、菱形的性质，勾股定理、三角函数，整体思想等. 分析：
本题可以先?,? 拼在一个角中按如图方式连接辅助线BC ； 根据正三角形可菱形的性质求出?1??2????30,?3?60 ∴?ACB??2??3?90 ;设正三角形的边长为a ，则
902 分.
2A15.分解因式：2x?2y= . 考点：提公因式和公式法分解因式
分析：先提取公因式，再利用平方差公式分解.即2x?2y?2x?y故应填：
22?22??2?x?y??x?y?
?32?AC?2a，利用菱形的性质并结合三角函数可以求得：BC?3a 在Rt△ACB中,AB?1B2?x?y??x?y? .
AC2?BC2??2a?2??3a?2?7a C
16.某活动小组购买4个篮球和5个足球，一共花费了466元，其中篮球的单价比足球的单价多4元，求篮球的单价和足球的单价.设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为 .
15.分解因式：2x?2y= . 考点：列方程组解应用题.
分析：本题抓住两个等量关系列方程组：其一.4个篮球的费用+5个足球的费用=466元；其二.篮球的单价-足球的单价=4元.
2221BC3a21∴cos?ABC? 即cos?????? 故应填：??7AB77a217 .
点评：
本题关键抓住把分散的?和?集中拼成在一个角中，通过连接一条辅助线就解决这个问题.然后再利用勾股定理和三角函数使问题得以解决，本题难度不大，但构思巧妙，是一道好题.
三.解答题(共8个题，共78分)
19.（本题满分8分） 计算：?3?4sin45?8????3?.
0?4x?5y?466故应填：??x?y?4 .
ADE17.如图，在Rt△ABC中，?ACB?90,AB?10,BC?6, CD∥AB, ?ABC的平分线BD交AC于E,DE= . 考点：勾股定理、相似三角形的性质和判定、平行线的性质、等腰三 角形的性质以及角平分线的定义等等.
考点：实数的运算，含特殊锐角三角函数值、次幂、绝对值以及二次根式的化简等考点. 分析：先算绝对值、三角函数值、化简根式等，再进行加减乘除.
略解： 在Rt△ABC中求出AC?AB2?BC2?102?62?8 BC第17题图 ∵BD是?ABC的平分线 ∴?1??2
∵CD∥AB ∴?1??D ∴?D??2 ∴CD?BC?6
∵CD∥AB ∴△ABE∽△CDE ∴
2?22?1 ···························· 4分 2 =3?22?22?1
=4 ········································ 8分
x2??1. 20..（本题满分8分）解方程：
x?1x略解：原式 = 3?4?考点：去分母法解分式方程、解一元一次方程.
分析：先去分母把分式方程化为整式方程，再解整式方程，注意验根.
略解： x2?2?x?1??x?x?1? ······························ 2分
CEDECD63???? AEBEAB10533∴CE?AC??8?3
3?58又在Rt△BCE中 BE?
ADEBC2?CE2?62?32?35 122 x?2x?2?x?x
339∴DE?BE??35?5. 故应填：
555955B2C .
6分 x?2 ··········································
当x?2时，代入x?x?1??0 ··························· 7分 所以原方程的解为x?2 ······························ 8分
21.（本题满分8分）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E,AB?CD,连接AD、BC.
18.如图，由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，
αβ求证：⑴.
；⑵.AE?CE.
DAEOC第18题图B
考点：圆的等对等关系、圆周角定理的推论、等腰三角形的判定 分析：⑴.利用弦相等得出对应的弧相等，再利用等式的性质证得；
⑵.利用弧相等得到圆周角相等，然后利用“等角对等边”证得. 证明：
⑴.连接 AC ··························· 1分 ∵AB?CD
∴AB?CD ·························· 3分 ∴AB?AC?CD?AC 即
···········
⑵.360?10?120 （人）. 305分
答：初一年级360人中，约有120人将获得表彰. ···················· 6分
⑶.树状图分析图： 龚扇剪纸
龚扇彩灯 剪纸彩灯恐龙⑵.∵
∴?ACD??BAC ····················· 7分 ∴AE?CE ·························· 8分
22.（本题满分8分）某校举行了创建全国文明城市知识竞赛活动，初一年级全体同学参加了竞赛.
收集数据：现随机抽取初一年级30名同学“创文知识竞赛”成绩，分数如下（单位：分）：
彩灯恐龙90 88 85 81 68 95 92 86 81 98 84 95 95 93 93 89 87 86 89 84 78 87 99 79 89 85 85 89 97 82
龚扇剪纸彩灯61共有12种情况，其中恰好有恐龙图案的是6种。故P（恐龙图案）=?
122故应填：
恐龙龚扇剪纸恐龙
⑴.请将图表中空缺的部分补充完整；
⑵.学校决定表彰“创文知识竞赛”成绩在90分以上的同学，根据上表统计结果估计该校初一年级360人中，约有多少人将获得表彰；
⑶.“创文知识竞赛”中，受到表彰的小红同学得到了印有龚扇、剪纸、彩灯、恐龙图案的四枚纪念章，她从中选取两枚送给弟弟，则小红送给弟弟的两枚纪念章中，恰好有恐龙图案的概率是 .
考点：频数分布表和频数分布直方图、样本估计总体、概率.
分析：⑴.直接根据提供的数据得到相应的频数，再按频数补全图表的空缺部分；⑵.先计算出30名学生获奖的百分比，以此估算360人中的获奖人数；⑶.列举法求概率，注意属于“不放回”的情况. 略解：
⑴.图表各2分.
12. ········································ 8分
注：答卷时不用写解析过程.
23.（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1?kx?b?k?0?的图象与反比例函数y2?m?m?0? 的图象相交于第一、三象限内的A?3,5?,B?a,?3?两点，与x轴交于点xC .
⑴.求该反比例函数和一次函数的解析式；
⑵.在y轴上找一点P使PB?PC最大，求PB?PC的最大值及点P的坐标； ⑶.直接写出当y1?y2时，x的取值范围.
考点：待定系数法求解析式、最值、勾股定理、利用函数图象确定自变量的取值范围. 分析：
⑴.先利用已知点的坐标求出反比例函数的解析式，在此基础上求出点B的坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式 ；⑵.根据题意和函数图象PB?PC的最大值先利用勾股定理分别求PB、PC的长度再代入相减，本题就是BC的长度 ；⑶.直接根据两图象相交上下位置可以读出y1?y2时的x的取值范围.，注意在每一个象限内来认识. y略解：
⑴.∵A?3,5?在反比例函数y2?∴m?3?5?15
∴反比例函数的解析式为y?
m?m?0?上 x15 ············· 2分 xCOBAx210
15把B?a,?3?代入y?可求得a?15???3???5
x∴B??5,?3?. ······································· 3分
把A?3,5?,B??5,?3?代入y?kx?b为?⑵. 设S?3?32??310 ①
则3S?3?32??311 ② ②-①得 3S?S?S?311?1
2?3k?b?5?k?1 解得?.
?b?2??5k?b??3∴S?3?3??310∴一次函数的解析式为y?x?2. ····························· 5分
y⑵. PB?PC的最大值就是直线AB与两坐标轴交点间的距离. 设直线y?x?2与y轴的交点为P.
A令y?0，则x?2?0，解得x??2 ，∴C??2,0?
P-5C令x?0，则y?0?2?2，，∴P?0,2?
O3311?1 ;故应填：?2311?12 . ············· 5分
⑶. 设S?1?a?a2??an ①
则aS?a?a2?a3??an?1 ② ②-①得 aS?S??a?1?S?an?1?1
2x∴S?1?a?a?∴PB?52?52?52,PB?22?22?22 Ban?1?1?a? . ························ 10分
a?1n∴PB?PC的最大值为52?22?32 . ····· 8分 ⑶.根据图象的位置和图象交点的坐标可知：
当y1?y2时x的取值范围为;?5?x?0或x?3. ················· 10分 点评：
本题的⑴问利用待定系数法可求；⑵问抓住已知直线外两点，要在直线上求作一点使这两点到这点的距离之差最大有两种情况：①.若两点在直线同侧，就是作射线，找交点；②.若两点在直线的异侧，则要先作对称点，再作射线，找交点.；本问属于第一种情况；⑶问主要注意在每一个象限内来认知.
24.（本题满分10分）阅读下列材料：小明为了计算1?2?22?以下方法：
2设S?1?2?2?
25.（本题满分12分）
⑴.如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将?BDE绕着点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G. ①.线段DB和DG的数量关系是 ； ②.写出线段BE、BF和DB之间的数量关系.
⑵.当四边形ABCD为菱形，?ADC?60，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将?B旋转后角的两边分别与射线BC交于点FDE绕着点D逆时针旋转120°，和点G.
①.如图2，点E在线段上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明；
②.如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M；若 BE?1,AB?2,直接写出线段GM的长度. GF G
F G
F
DC CCDD
M
BBEAEAABE
(图1)(图2)(图3)
考点：旋转的特征，正方形以及菱形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，等腰三角形以及直角三角形的性质，勾股定理等. 分析：
本题的⑴问的①直接根据旋转特征可以得出答案；本题的⑴问的②利用旋转的特征和全等三角
?22017?22018的值 ，采用
?22017?22018 ①
22018?22019 ② 则2S?2?2??22019?1 ②-①得 2S?S?222017?22018?22019?1 ∴S?1?2?2??2⑴. 1?2?22??29= ; 210⑵. 3?3??3 = ; 2n⑶.求1?a?a??a的和（a?0 ，n是正整数，请写出计算过程 ）.
考点：规律型探究、数式变形、整体思想、实数的运算. 分析：
本题参照例子的解法主要利用整体思想结合数式变形进行巧算. 略解：
2⑴. 设S?1?2?2??29 ①
210则2S?2?2??2 ②
10②-①得 2S?S?2?1
?29?210?1;故应填：
2∴S?1?2?2?210?1 . ··········· 2分
四川省自贡市2019年中考数学试题（解析版）
