3．3.3 函数的最大(小)值与导数
[教材研读]
预习课本P96～98，思考以下问题
如图为函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图象
1．由图找出f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的取值位置．
2．根据图象找出在闭区间[a，b]上，函数f(x)的最大(小)值与极大(小)值的关系．
[要点梳理]
1．函数f(x)在闭区间[a，b]上的最值
函数f(x)在闭区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，则该函数在[a，b]上一定能够取得最大值与最小值，函数的最值必在端点处或极值点处取得．
2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤 (1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
(2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
3．最值与极值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言．
(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有)．
(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点．
(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点取得．
如图是y＝f(x)在区间[a，b]上的函数图象．显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值．最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分别在x＝x3及x＝b处取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4处取得．
[自我诊断]
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
1．函数y＝f(x)在闭区间的极值就是在该区间的最值．( ) 2．函数的最小值至多有一个，但函数的极小值可能有多个．( )
3．若函数在开区间只有一个极大值，则该极大值就是最大值．( )
[答案] 1.× 2.√ 3.√
题型一 利用导数求最值 思考：最值与极值的联系与区别？
提示：最值是函数在整个定义域上的最大最小值，而极值是局部最大最小值．
求下列各函数的最值：
(1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－3，3]； 54
(2)f(x)＝x－x(x<0)．
2
[思路导引] 在闭区间求函数的极值以及端点值，再比较大小． [解] (1)f′(x)＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)． 令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1， 当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
(－3，x －3 －1) f′(x) － 0 ＋ 0 － －1 (－1,1) 1 (1,3) 3 极小f(x) 0 极大 值 值 －18 所以x＝1和x＝－1是函数在[－3，3]上的两个极值点，且f(1)＝2，f(－1)＝－2.
又因为f(x)在区间端点处的取值为f(－3)＝0，f(3)＝－18，所以f(x)max＝2，f(x)min＝－18.
54
(2)f′(x)＝2x＋x2，令f′(x)＝0得x＝－3. 当x变化时，f′(x)，f(x)变化情况如下表：
x f′(x) f(x) (－∞，－3) － －3 0 极小值 (－3,0) ＋ 所以当x＝－3时，f(x)取得极小值，也就是最小值． 故f(x)的最小值为f(－3)＝27，无最大值．
(1)求函数最值时，若函数f(x)的定义域是闭区间，则需比较极值
高中数学人教版选修1-1 第三章 导数及其应用 函数的最大（小）值与导数
