11
[解析] 由f′(x)＝－x2＝
x
＝0，得x＝1，且x∈(0,1)时，
f′(x)<0；x∈(1,5]时，f′(x)>0，∴x＝1时f(x)最小，最小值为f(1)＝3.
[答案] B
1
5．函数f(x)＝＋x(x∈[1,3]的值域为__________．
x＋1
x2＋2x1
[解析] f′(x)＝－＋1＝，所以在[1,3]上f′(x)>0
?x＋1?2?x＋1?2
13
恒成立，即f(x)在[1,3]上单调递增，所以f(x)的最大值是f(3)＝4，最?313?3
小值是f(1)＝2.故函数f(x)的值域为?2，4?.
??
?313?
[答案] ?2，4?
??
1312
6．已知f(x)＝3x－2x－2x，求f(x)的极大值__________，极小值__________．
[解析] f′(x)＝x2－x－2＝0，解得x＝－1或x＝2，且(－∞，7
－1)和(2，＋∞)时f′(x)>0，在(－1,2)，f′(x)<0，所以f(－1)＝6是
10
极大值，f(2)＝－3是极小值．
710
[答案] 6 －3
7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋2，且f(x)的导函数f′(x)的图象关于直线x＝1对称．
(1)求导函数f′(x)及实数a的值；
(2)求函数y＝f(x)在[－1,2]上的最大值和最小值．[解] (1)由f(x)＝x3＋ax2＋2得： f′(x)＝3x2＋2ax.
∵f′(x)的图象关于直线x＝1对称， ∴－a3＝1.
∴a＝－3，f′(x)＝3x2－6x. (2)由(1)知f(x)＝x3－3x2＋2， f′(x)＝3x2－6x.
令f′(x)＝0得x1＝0，x2＝2.
当x在[－1,2]上变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f(x) －1 －2 (－1,0) ＋ 0 0 2 (0,2) － 2 0 －2 由上表可知，当x＝－1或x＝2时，函数有最小值－2，当x＝0时，函数有最大值2.
高中数学人教版选修1-1 第三章 导数及其应用 函数的最大（小）值与导数
