11
[解析] 由f′(x)=-x2=
x
=0,得x=1,且x∈(0,1)时,
f′(x)<0;x∈(1,5]时,f′(x)>0,∴x=1时f(x)最小,最小值为f(1)=3.
[答案] B
1
5.函数f(x)=+x(x∈[1,3]的值域为__________.
x+1
x2+2x1
[解析] f′(x)=-+1=,所以在[1,3]上f′(x)>0
?x+1?2?x+1?2
13
恒成立,即f(x)在[1,3]上单调递增,所以f(x)的最大值是f(3)=4,最?313?3
小值是f(1)=2.故函数f(x)的值域为?2,4?.
??
?313?
[答案] ?2,4?
??
1312
6.已知f(x)=3x-2x-2x,求f(x)的极大值__________,极小值__________.
[解析] f′(x)=x2-x-2=0,解得x=-1或x=2,且(-∞,7
-1)和(2,+∞)时f′(x)>0,在(-1,2),f′(x)<0,所以f(-1)=6是
10
极大值,f(2)=-3是极小值.
710
[答案] 6 -3
7.已知函数f(x)=x3+ax2+2,且f(x)的导函数f′(x)的图象关于直线x=1对称.
(1)求导函数f′(x)及实数a的值;
(2)求函数y=f(x)在[-1,2]上的最大值和最小值.[解] (1)由f(x)=x3+ax2+2得: f′(x)=3x2+2ax.
∵f′(x)的图象关于直线x=1对称, ∴-a3=1.
∴a=-3,f′(x)=3x2-6x. (2)由(1)知f(x)=x3-3x2+2, f′(x)=3x2-6x.
令f′(x)=0得x1=0,x2=2.
当x在[-1,2]上变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x f′(x) f(x) -1 -2 (-1,0) + 0 0 2 (0,2) - 2 0 -2 由上表可知,当x=-1或x=2时,函数有最小值-2,当x=0时,函数有最大值2.
高中数学人教版选修1-1 第三章 导数及其应用 函数的最大(小)值与导数
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