点处函数值与端点处函数值的大小才能确定函数的最值；
(2)若f(x)的定义域是开区间且只有一个极值点，则该极值点就是最值点．
[跟踪训练]
1－x?1?
已知函数f(x)＝x＋lnx，求f(x)在?2，2?上的最大值和最小值．
?
?
[解] 易知f(x)的定义域为(0，＋∞)． 1－x1
∵f(x)＝x＋lnx＝x－1＋lnx， 11x－1
∴f′(x)＝x－x2＝x2. 令f′(x)＝0，得x＝1.
?1??在2，2?上，当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表： ??
?1??，1? ?2?x 1 (1,2] f′(x) f(x) － 0 极小值 ＋ ?1?
∴在?2，2?上，当x＝1时，f(x)取得极小值，也是最小值，且f(1)
??
＝0.
?1?11??又f2＝1＋ln2＝1－ln2，f(2)＝－2＋ln2， ???1?311e3
∴f?2?－f(2)＝2－2ln2＝2×(3－4ln2)＝2ln16>0， ???1?
∴f?2?>f(2)， ??
?1??1?
∴f(x)在?2，2?上的最大值为f?2?＝1－ln2，最小值为f(1)＝0.
????
题型二 含参数的函数最值问题 思考：怎样求解析式中的参数？
提示：利用极值与导数的关系，即在某点有极值，则在某点的导数为0.
已知k为实数，f(x)＝(x2－4)(x＋k)．
(1)求导函数f′(x)；
(2)若x＝－1是函数f(x)的极值点，求f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值．
[思路导引] 因为在x＝－1处取得极值，所以f′(－1)＝0，则求出参数k.
[解] (1)∵f(x)＝x3＋kx2－4x－4k，∴f′(x)＝3x2＋2kx－4. 1
(2)由f′(－1)＝0，得k＝－2. 1
∴f(x)＝x3－2x2－4x＋2，f′(x)＝3x2－x－4. 4
由f′(x)＝0，得x＝－1或x＝3.
9?4?50
又f(－2)＝0，f(－1)＝2，f?3?＝－27，f(2)＝0，
??
950
∴f(x)在区间[－2,2]上的最大值为2，最小值为－27.
已知函数最值求参数，可先求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使问题得以解决．
[跟踪训练]
若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值是3，最小值是－29，
求a，b的值．
[解] f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)． 令f′(x)＝0，得x＝0，x＝4. ∵x∈[－1,2]，∴x＝0. 由题意知a≠0.
①若a>0，则f′(x)，f(x)随x变化的情况如下表： x f′(x) f(x) (－1,0) ＋ 0 0 最大值3 (0,2) － 当x＝0时，f(x)取最大值f(0)＝b＝3. 又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3， f(－1)＝－7a＋3>f(2)，
∴当x＝2时，f(x)取最小值，－16a＋3＝－29， ∴a＝2.
②若a<0，则f′(x)，f(x)随x变化的情况如下表：
x f′(x) f(x) (－1,0) － 0 0 最小值－29 (0,2) ＋ ∴当x＝0时，f(x)取最小值f(0)＝b＝－29. 又f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29 ???a＝2，?a＝－2，综上：?或? ??b＝3b＝－29.?? 题型三 与函数最值有关的恒成立问题 思考：有关恒成立问题怎样解决？ 提示：与恒成立有关的问题，就是转化为求最值问题． 设函数f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)． (1)求f(x)的最小值h(t)； (2)若h(t)<－2t＋m对t∈(0,2)恒成立，求实数m的取值范围．
高中数学人教版选修1-1 第三章 导数及其应用 函数的最大(小)值与导数
