解得?9
二、填空题（每小题5分，共4小题20分）
3
已知??32??=10????，那么??＝________． 【答案】 8
【考点】
排列及排列数公式 【解析】
3
根据题意，由排列数公式可得：若??32??=10????，则有2??(2???1)(2???2)＝10×??×(???1)(???2)，将其化简可得4(2???1)＝10(???2)，解可得??的值，即可得答案． 【解答】
3
根据题意，若??32??=10????，
则有2??(2???1)(2???2)＝10×??×(???1)(???2)， 即4(2???1)＝10(???2)， 解可得：??＝8；
6个人排成一排，甲、乙两人中间恰有一人的排法有________种． 【答案】 192
【考点】
排列、组合及简单计数问题 【解析】
根据题意，分2步进行分析：①从除甲乙之外的4人中任选一人，安排在甲乙之间，②排好后，将三人看成一个整体，与剩下的三人全排列，由分步计数原理计算可得答案． 【解答】
根据题意，分2步进行分析：
12
①从除甲乙之外的4人中任选一人，安排在甲乙之间，有??4??2＝4×2＝8种情况， ②排好后，将三人看成一个整体，与剩下的三人全排列，有??44＝24种情况， 则有8×24＝192种不同的排法；
若函数??(??)=?3??3+2??2+2????在[3,?+∞)上存在单调递增区间，则??的取值范围是________． 【答案】
1
(?，+∞) 9【考点】
利用导数研究函数的单调性 【解析】
求出函数的导数，利用导函数值大于0，转化为??的表达式，求出最值即可得到??的取值范围． 【解答】
解：∵ 函数??(??)=?3??3+2??2+2????，
1
1
1
1
2
15
试卷第6页，总14页
∴ ??′(??)=???2+??+2??=?(???)2++2??．
2
4
1
1
当??∈[3,?+∞)时，??′(??)的最大值为??′(3)=2??+9， 令2??+>0，解得??>?. 9
9
2
1
222
∴ ??的取值范围是(?，+∞)．
9
1
故答案为：(?9，+∞)．
若关于??的不等式?????????≥0对任意??∈(0,?+∞)恒成立，则??的取值范围是________． 【答案】 (?∞,???] 【考点】
函数恒成立问题 【解析】 由题意可得??≤
??????
1
在??>0恒成立，设??(??)=
??????
(??>0)，求得导数和单调性，可得??(??)
的最小值，即可得到所求范围． 【解答】
当0
可得??(??)在??＝1处取得最小值，且为??(1)＝??， 所以??≤??，即??的取值范围是(?∞,???]． 故答案为：(?∞,???]．
三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分，解答每题时写出必要的文字说明或演算步骤．）
某医院有内科医生5名，外科医生4名，现要派4名医生参加赈灾医疗队， （1）一共有多少种选法？
（2）其中某内科医生必须参加，某外科医生因故不能参加，有几种选法？
（3）内科医生和外科医生都要有人参加，有几种选法？ 【答案】
所有医生共9人，从这9人中在任意选出4人，共有??94=126（种）； 所有医生共9人，先选上某个内科医生，去掉某外科医生，还有7人，
3
从这7人中在任意选出3人，共有??7＝35（种）；
4
由题意，所有的选法共有??9种，从中减去只有内科医生和外科医生的选法， 故满足条件的选法共有??94???54???44=120（种）． 【考点】
排列、组合及简单计数问题 【解析】
（1）所有医生共9人，从这9人中在任意选出4人即可；
（2）除去某个内科医生和某外科医生，还有7人，从这7人中在任意选出4人即可；
4
（3）所有的选法共有??9种，从中减去只有内科医生和外科医生的选法，运算求得结果．
试卷第7页，总14页
【解答】
所有医生共9人，从这9人中在任意选出4人，共有??94=126（种）； 所有医生共9人，先选上某个内科医生，去掉某外科医生，还有7人，
3
从这7人中在任意选出3人，共有??7＝35（种）；
4
由题意，所有的选法共有??9种，从中减去只有内科医生和外科医生的选法， 故满足条件的选法共有??94???54???44=120（种）．
已知函数??(??)＝(1?2??)(??2?2)． （1）求??(??)的单调区间和极值；
（2）若直线??＝4??+??是函数??＝??(??)图象的一条切线，求??的值． 【答案】
根据题意，函数??(??)＝(1?2??)(??2?2)．
则??′(??)＝?2(??2?2)+(1?2??)?2??＝?6??2+2??+4． 令??′(??)＝0，得3??2????2＝0，解得??=?或??＝1．
32
?? ??′(??) ??(??) 2(?∞,??) 3- ↘ 2? 30 极小值 2
2(?,?1) 3+ ↗ 1 0 极大值 2
(1,?+∞) - ↘ 所以??(??)的单调递增区间为(?3,?1)，单调递减区间为(?∞,??3)，(1,?+∞)， 极小值为??(?3)=?27，极大值为??(1)＝1．
因为??′(??)＝?6??2+2??+4，
直线??＝4??+??是??(??)的切线，设切点为（??0,???(??0)）， 则??′(??0)＝?6??0_2+2??0+4＝4， 解得??0＝0或??0=．
312
98
当??0＝0时，??(??0)＝?2，代入直线方程得??＝?2， 当??0=3时，??(??0)=?27，代入直线方程得??=?27． 所以??＝?2或?27． 【考点】
利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的最值 【解析】
（1）根据题意，求出函数的导数，令??′(??)＝0，解得??=?3或??＝1，列表分析函数的单调性与极值，即可得答案； （2）设切点为（??0,???(??0)），计算函数的导数，由导数的几何意义分析可得??′(??0)＝?6??0_2+2??0+4＝4，解得??0＝0或??0=3，分别代入直线方程，计算可得??的值，即可得答案．
试卷第8页，总14页
1
2
53
1
17
53
【解答】
根据题意，函数??(??)＝(1?2??)(??2?2)．
则??′(??)＝?2(??2?2)+(1?2??)?2??＝?6??2+2??+4． 令??′(??)＝0，得3??2????2＝0，解得??=?3或??＝1． ?? ??′(??) ??(??)
2(?∞,??) 3- ↘ 2? 30 极小值 23
2
2(?,?1) 3+ ↗ 1 0 极大值 23
(1,?+∞) - ↘ 所以??(??)的单调递增区间为(?,?1)，单调递减区间为(?∞,??)，(1,?+∞)， 极小值为??(?)=?，极大值为??(1)＝1．
3
27
2
98
因为??′(??)＝?6??2+2??+4，
直线??＝4??+??是??(??)的切线，设切点为（??0,???(??0)）， 则??′(??0)＝?6??0_2+2??0+4＝4， 解得??0＝0或??0=3．
当??0＝0时，??(??0)＝?2，代入直线方程得??＝?2， 当??0=时，??(??0)=?，代入直线方程得??=?．
3
27
27
1
17
53
1
所以??＝?2或?27．
在二项式(√???
3
53
12√??3)??的展开式中，
（1）若所有二项式系数之和为64，求展开式中二项式系数最大的项．
（2）若前三项系数的绝对值成等差数列，求展开式中各项的系数和． 【答案】
01??
由已知得????+????+?+????=64，2??＝64，∴ ??＝6，
336?3展开式中二项式系数最大的项是??4=??6(??)(?2???3)3=20?(?8)???0=?2．
1
1
1
15
展开式的通项为????+1=
1
1
1?????????????2??
3，(??＝0,?1,…,??) (?)
2
1
1
1
112
由已知：(?2)0????0,(2)????,(2)2????2成等差数列，2×2????=1+4????，∴ ??＝8，
在(√???
3
12√??3)??的展开式中，令??＝1，得各项系数和为
1
256
．
【考点】
二项式定理及相关概念 【解析】
（1）根据二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，求得展开式中二项式系数最大的项．
（2）前三项系数的绝对值成等差数列，求得??＝8，再令??＝1，可得展开式中各项的系数和．
试卷第9页，总14页
【解答】
01??
由已知得????+????+?+????=64，2??＝64，∴ ??＝6， 展开式中二项式系数最大的项是??4=展开式的通项为????+1=
1
1
1
1?13336?3
??6(??)(???3)
2
=20?(?)???0=?．
8
2
15
1?????????????2??
3，(??＝0,?1,…,??) (?)
2
1
1
1
112
由已知：(?2)0????0,(2)????,(2)2????2成等差数列，2×2????=1+4????，∴ ??＝8，
在(√???
3
12√??3)??的展开式中，令??＝1，得各项系数和为256．
1
已知函数??(??)=??3?????2+(??2?1)??+??(??,???∈??)，其图象在点（1,???(1)）处的切
3
1
线方程为??+???3＝0． （1）求??，??的值；
（2）求函数??(??)的单调区间，并求出??(??)在区间[?2,?4]上的最大值． 【答案】
??′(??)＝??2?2????+??2?1，
∵ （1,???(1)）在??+???3＝0上， ∴ ??(1)＝2，
∵ (1,?2)在??＝??(??)上， ∴ 2=3???+??2?1+??， 又??′(1)＝?1，
∴ ??2?2??+1＝0， 解得??＝1，??=．
38
1
∵ ??(??)=3??3???2+3，
∴ ??′(??)＝??2?2??，
由??′(??)＝0可知??＝0和??＝2是??(??)的极值点，所以有 ?? (?∞,?0) 0 (0,?2) ??′(??) + 0 - ??(??) 增 极大值 减 ∵ ??(0)=，??(2)=，??(?2)＝?4，??(4)＝8，
3
3
8
4
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2 0 极小值 (2,?+∞) + 增 所以??(??)的单调递增区间是(?∞,?0)和(2,?+∞)，单调递减区间是(0,?2)．
∴ 在区间[?2,?4]上的最大值为8． 【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究曲线上某点切线方程 利用导数研究函数的最值 【解析】
（1）根据导数的几何意义求出函数在??＝1处的导数，从而得到切线的斜率，建立等式关系，再根据切点在函数图象建立等式关系，解方程组即可求出??和??，从而得到函数
试卷第10页，总14页
2024-2024学年湖北省武汉市五校联合体高二(下)期中数学试卷
