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高等数学同济第七版7版下册习题 全解

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.

球体内任意一点处的密度大小为

2 2^2

p = x + y + z = r ? 由于球体的几何形状及质量分布均关于z轴对称,故可知其质心位于z轴上,因此 I = y = 0.

广\

^IRcos

M>

i /-2TT fY f2Rcos (p 1sin (pdr ,

2irj ^/?5cos5

「JW'

1

C2 广平 1

|

r ? rcos (p ? r sin

cpAr

=^- f —/?cos(^sin (pd(p = —/?,

6

7

HI h 6 平\ 4 , 故球体的质心为( 0,0,夺ft).

注从以上两题的题解可看出,在计算立体的质心时,要注意利用对称性来减 少运算量.对匀质立体来说,只要考虑立体几何形状的对称性(如第7题);但对非匀 质立体来说,除了立体的几何形状的对称性外,还需注意立体的质S分布是否也具 有相应的对称性(如第8题).

9.设均匀薄片(面密度为常数1 )所占闭区域0如下,求指定的转动惯量:

\\) D - \\ (xyy) (2) D由拋物线:K = 与直线x = 2所围成,求 ' 和' ;

2

2

(3) D为矩形闭区域I (xyy) |0彡x彡《,()彡y彡/>丨,求,,和^ 解

,

⑴' =l{x(\\x(ly =

122x\dx\\ ■Jo - X (lx r~7 ^? ~^

2

2

Ay 4/, r1 Ax. 卜式=—[r/'siri

Ah /)

/cos t ? nr ns till a

V_

2

4

TT

4<■/j sin/(I/ - ^ sin/(I/]

丄.1- '

l 2 2 4

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.^7Tb. ^/

}2 2 )精品

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.r 2

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汁算此矩形扳对

于 ,v轴和、轴分别

Sa 10.已知均匀矩形板(面密度为常S M )的K;和宽分別为

和, 通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯!it.

解建立如图10 - 5 8的坐标系,使原点0为矩形板的形心 行于矩形的两边,则所求的转动惯S为

I|.v>

B11. ?均匀物休(密度p为常W)山11的W K域/nil llll ITU' * = 0,

|.r I = \, | v| = “所 Il;| 成?

精品

.

(1 )求物体的体积;

(2) 求物体的质心;

(3) 求物体关于z轴的转动惯量. 解(1)如图10-59,由的对称性可知

4 ( dx I U + y)dy = 4

jUa\2 +y)dx = yfl4-

(2)由对称性可知,质心位于z轴上,故I =j = 0.

对称4 ra ca cx 广 dv rx1

+

ra ra

22L x=jrfOy +/)办 rJr

YI H2

zdz性 / ^ ^ 4 + 22=

vl'(ax4 +faV +yfl5)dA: = \\5a2-

(3) lz = jjjpi x2 + y2 ) dv =对称性4pj、dxj^ dyj( (x2 + y2 ) dz n = 4fjj dxj ( x4 + 2x2 y2 + y4 ) (\\y 112 6

& 12.求半径为a、高为A的均匀阏柱体对于H中心而平行于母线的轴的转动惯S (设

密度〆=I )?

解建立空间S角坐标系,使原点位于圆柱体的中心,^轴平行于母线,则_柱 休所A的空问闭K域

精品

.

柱面坐标r

| (p,9,z) O^0^2-iT,O^p^a,

于是所求的转动惯量为

I, = jjj( X +).2)tlf; = Jjjp ? pdpdffdz 126U13.设面密度为常量

M

的质量均匀的半圆环形薄片占有闭区域D =

(.v.v,0) I R, ^

\\/ x1 + y2 ^ R2 ,x ^ 0 ;,求它对位于;:轴上点A/()(0,0,rt) (?. > 0 )处单位质量的质点 的引力

?IF. = G

rK' 图 10 - 60

Jcr

x + y + 11 ) 和

222TdF, = G―~a),‘ , 2 \ ? \\ -T-

:

(x + v + ) r, = (^\\\\ 极坐标

2

于是

—d(

7

pros 0 \

k (p + \) +

F.

r2

li. 2

解如图10-60,引力元素」/^沿x轴和

C/JL [ ? ros \I\|

( (I

轴的分量分別为

/;

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