.
球体内任意一点处的密度大小为
2 2^2
p = x + y + z = r ? 由于球体的几何形状及质量分布均关于z轴对称，故可知其质心位于z轴上，因此 I = y = 0.
广\
^IRcos
M>
i /-2TT fY f2Rcos (p 1sin (pdr ,
2irj ^/?5cos5
「JW'
1
C2 广平 1
|
r ? rcos (p ? r sin
cpAr
=^- f —/?cos(^sin (pd(p = —/?,
6
7
HI h 6 平\ 4 ， 故球体的质心为( 0,0,夺ft).
注从以上两题的题解可看出，在计算立体的质心时，要注意利用对称性来减 少运算量.对匀质立体来说，只要考虑立体几何形状的对称性(如第7题)；但对非匀 质立体来说，除了立体的几何形状的对称性外，还需注意立体的质S分布是否也具 有相应的对称性(如第8题).
9.设均匀薄片(面密度为常数1 )所占闭区域0如下，求指定的转动惯量：
\\) D - \\ (xyy) (2) D由拋物线:K = 与直线x = 2所围成，求 ' 和' ;
2
2
(3) D为矩形闭区域I (xyy) |0彡x彡《，()彡y彡/>丨，求，，和^ 解
,
⑴' =l{x(\\x(ly =
122x\dx\\ ■Jo - X (lx r~7 ^? ~^
2
2
Ay 4/, r1 Ax. 卜式=—[r/'siri
Ah /)
/cos t ? nr ns till a
V_
2
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TT
4<■/j sin/(I/ - ^ sin/(I/]
丄.1- '
l 2 2 4
丄4
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.^7Tb. ^/
}2 2 )精品
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.r € 2
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汁算此矩形扳对
于 ,v轴和、轴分别
平
Sa 10.已知均匀矩形板（面密度为常S M ）的K；和宽分別为
和, 通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯!it.
解建立如图10 - 5 8的坐标系，使原点0为矩形板的形心 行于矩形的两边，则所求的转动惯S为
I|.v>
B11. ?均匀物休（密度p为常W）山11的W K域/nil llll ITU' * = 0,
|.r I = \, | v| = “所 Il;| 成?
精品
.
(1 )求物体的体积；
(2) 求物体的质心；
(3) 求物体关于z轴的转动惯量. 解(1)如图10-59,由的对称性可知
4 ( dx I U + y)dy = 4
jUa\2 +y)dx = yfl4-
(2)由对称性可知，质心位于z轴上，故I =j = 0.
对称4 ra ca cx 广 dv rx1
+
ra ra
22L x=jrfOy +/)办 rJr
YI H2
zdz性 / ^ ^ 4 + 22=
vl'(ax4 +faV +yfl5)dA： = \\5a2-
(3) lz = jjjpi x2 + y2 ) dv =对称性4pj、dxj^ dyj( (x2 + y2 ) dz n = 4fjj dxj ( x4 + 2x2 y2 + y4 ) (\\y 112 6
& 12.求半径为a、高为A的均匀阏柱体对于H中心而平行于母线的轴的转动惯S (设
密度〆=I )?
解建立空间S角坐标系，使原点位于圆柱体的中心,^轴平行于母线，则_柱 休所A的空问闭K域
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.
柱面坐标r
| (p,9,z) O^0^2-iT,O^p^a,
于是所求的转动惯量为
I, = jjj( X +).2)tlf; = Jjjp ? pdpdffdz 126U13.设面密度为常量
M
的质量均匀的半圆环形薄片占有闭区域D =
(.v.v,0) I R, ^
\\/ x1 + y2 ^ R2 ,x ^ 0 ；，求它对位于;:轴上点A/()(0,0,rt) (?. > 0 )处单位质量的质点 的引力
?IF. = G
rK' 图 10 - 60
Jcr
x + y + 11 ) 和
222TdF, = G―~a)，‘ , 2 \ ? \\ -T-
:
(x + v + ) r, = (^\\\\ 极坐标
2
于是
—d(
7
pros 0 \
k (p + \) +
F.
r2
li. 2
解如图10-60,引力元素」/^沿x轴和
C/JL [ ? ros \I\|
( (I
轴的分量分別为
/；
JT
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J
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