.
dz d.rdr
r2
’
,6
cbJ^d.Ttlr
精品
( 3 )利用柱面
于* 计(2算)利用球面坐标计算.球面x 坐是标?曲面2 = /\\. + V和=
22
2
2
.
2
.??
2
2az及圆锥面;r + y = 22的球面坐
22
+ .V的忡而坐标疗程分别 为
0 ^ r ^ 2 a cos
了，2TT |(图 10 - 45 ).
z二p和2
= p .消去
2
rsin (pdrd(pd0 2
z，得p = 1，故它们
所闱的立体在1 m而| .的投影K域为
16 IT r^. TT
r 4
si
r
f 厶Ul’US if l (H ”H
0
■
dr
3
ZTT ----- sin (pros (pd(f
8a .
3
,
o COS (f
注本题若用“先重后单”的方法计算也很简便. -49).
由x2 + y2 + z2 = 2az和:r2 + y2 = 22解得z = fl ?对固定的2，当0彡2 $ ?时， 1*1 lit
Dz - \\ (x,y) \\ x2 + y2 ^ z2 \\ ； ^ a ^ z 2a y D z = | ( A: ,y) | .v2 4- y2 2az - z2 \\ . 于是
p ＜丨(图 10
V= V\\ dr d.vch + (I: dvdv
HZ\l\\z iv(2az - z'' ) dz + ur/' = TTO：.
于是
=J\
《
I:
TTZ~dz + 7T (6 - z) Az精品
.
= 2订丄 P(P -p2)dp =
(本题也可用\先重后单”的方法方便地求得结果，读者可自己练习.)
(4)
在直角坐标系中用“先重后单”的方法计算.由z
^ 〆和^ +
y2 = 4z可解得z = 1 ?
jf TT ? 4zdz + TT(5 - z2) dz 5
2 V= V1 -h v+ J dz^jdxdy 2 dz j^dxdy 2TT + TT 5z
■n(5j5 -4). 对固定的Z，当0彡2彡1时，Z), = \\ (xyy) \\ X2 + y2 ^ 4z\\ ;当1彡z时，= | (x,y) \\x2 +y2 ^5 - z2\\ (图 10 - 50).于是
解(本用题球用柱面面坐坐标标计计兑算_也记很/方2便为立体所占的空间区域，有，请读者A己练习.)
图 10-49
7
图 10 -50
Eu * 13.求球体r矣＜/位于锥面＜f和＜P = +TT之间的部分的体积.
p
2-n
sin tp＜l(p14.求上、22+z2下分別为球面 =2和抛物面z = x2 +xy +2y 所围立体的体积-
解由；《2
+ y2
+ z2
二2和z =
x2
+ y2
消去2，解得x2 + y2 = \\ ■从而得立体\ 在；面上的
投影K域/入,为x2
+/矣1 .于是
fl - | (x ,y,z) \\ x2 + y2 ^
-精品
Dz .
-(X2 +y2)]dxdy(用极坐标)
(A/2 - p2 - p~ )pdp -IT.
注本题也可用“先重后单”的方法按下式方便地求得结果：
F = dz JJ dxdy + JJ dxdy ?3 + V：�2-i*
TTJ (2 - z2 ) dz + TTI zdz 4j2 -7T +
—7T 2
72
2a*15.球心在原点、半径为fl的球体，在其上任意一点的密度的大小与这点到球心的 距离成正比，求这球体的质量.
解用球面坐标计算.为；c + / + Z矣尺，即r矣/?.按题设，密度函数 fji(x,y,z)
2
2
2
JjjM( x ,y,z) dy = Jj^/cr ? r2 sin
ipdrd^jd^ n rK k I (WI sin (fdcp I r dr
k ? 2TT
R4
kirR . = k-Jx2 + y2 + z2 = kr{ k > 0).于是
重积分的应用
&1.求球面x2 +y2 +Z2 = a2含在圆柱面;K2 + y2 = ?.r内部的那部分而积.
ill [Hi面的对称件得所求面积为解如图10-51，上半球面的方程为Z = /a2
- .v - v.
2
:
dz _ - x 2
Sz _ - y 扣一 vV - x - r ’ 办—v/V
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It yQ~ — d,dv=aa. ￡L4fli ;(ip
ip dp
cl ^
= j) ( 1 - sin 6) d0 - 2a2 ( IT - 2 ) ?
2.求锥面z = v/V + J2被柱面z2 = 2；1?所割下部分的曲面面积.
解由卜=v ^ +厂’解得AT2 + y2 = 2^，故曲面在xOy面上的投影区域Z?= I.'2 = 2x 被割曲面的方程为Z = Vx2 + J1 ,
( x,y) | AT2 + v2 ? 2x\\ (图 10
-52).
X 于是所求曲面的面积力
^ = JJ
\
^3.求胧N t.径相等的两个訌夂N
= 7^\.(\的面枳)=N/2TT-
柱面
X2 +y2 = fi1 R X2 + ^ = R所围立体的表 面积.
1解如阁m - 53，设第-卦限内的立休犮而位T?關柱而；《：2 + z2 = ?2上的那一 部分的面积为/!，则山对称性知全部表Ifll的面积为1M.
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高等数学同济第七版7版下册习题 全解
