高二上学期期末考试数学备考试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确的答案的编号用铅笔涂在答题卡上． 1．若a?b且c?R，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．a?b B．ac?bc C．ac?bc D．a?c?b?c 2．在ABC中，a?1，b?3，A?30，则B等于（ ）
A．60° B．60°或120° C．30°或150° D．120° 3．在数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，……中，第25项为（ ）
A．25 B．6 C．7 D．8
?24．设p:m≤0，q：关于x的方程x?x?m?0有实数根，则p是q的（ ）
2222Vo A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
x2y2??1的右焦点重合，则实数p的值为（ ） 5．若抛物线y?2px的焦点与椭圆62 A．?2 B．2 C．?4 D．4
10x2y2??1的离心率e?6．若椭圆，则实数m的值为（ ）
55m25515 A．3 B．3或 C．15 D．15或
33o7．底面是矩形的四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB?4,AD?3,AA1?5,?BAA1??DAA1?60，则
2 AC1?（ ）
A．95 B．59 C．85 D．58 ?x?y≥134?8．设x、y满足约束条件?x?y≥?1，若目标函数z?ax?by?a?0,b?0?的最大值是7，则?的最
ab?2x?y≤2? 小值是（ ）
A．4 B．7?4324 C． D．7 77
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．
9．过抛物线y?8x的焦点作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为 ． 10．等比数列?an?中，a3?7，前三项之和S3?21，则公比q的值为 ．
211??x??，则a?b的值是 ． 23??D1
12．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标 为?0,2?，则双曲线的标准方程是 ． A 11．若不等式ax?bx?2?0的解集是?x?2?C1 B1 C B
13．如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?BC?2，AA1?1，
1uuuruuur214．已知以点F为焦点的抛物线y?4x上的两点A、B满足AF?3FB，
则弦AB的中点到准线的距离为 ．
则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 ．
D A 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤．
15．（本小题满分12分）双曲线与椭圆在x轴上有公共焦点，它们的离心率是方程2x?5x?2?0的两根， 若椭圆焦距为4． （1）求椭圆的标准方程； （2）求双曲线的渐近线方程．
16．（本小题满分12分）已知数列?an?是等差数列，且a1?2，a1?a2?a3?12．
（1）求数列?an?的通项公式； （2）令bn?an?3nn?N?，求数列?bn?的前n项和的公式．
2??3． VABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a?2，cosB?5 （1）若b?4，求sinA的值； （2）若VABC的面积为4，求b、c的值．
17．（本小题满分14分）已知
18．（本题满分14分）如图，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?4，AD?3，AA1?2，E、F分别
uuuruuuruuur是线段AB、BC上的点，且EB?FB?1，以点A为原点，AB,AD,AA1分别为x、y、z轴建立空间
A1 B1 A B C 直角坐标系，用向量法解决下列问题． （1）求二面角C?ED?C1的正切值； （2）求直线EC1与FD1所成角的余弦值．
D1 C1
D
19．（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，点A?1,0?、B??1,0?，已知CA?22，BC的垂直平 分线l交线段AC于点D，当点C在坐标平面运动时，点D的轨迹图形设为E． （1）求轨迹图形E的标准方程；
（2）点P为轨迹图形E上一动点，点O为坐标原点，设PA?1??PO，求实数?的最大值．
?20．（本小题满分14分）在数列?an?中，a1?2，对于任意的p,q?N，有ap?q?ap?aq．
22 （1）求数列?an?的通项公式； （2）若数列?bn?满足：an? 的通项公式；
? （3）在（2）的条件下，设Cn?3n??bnn?N?，是否存在实数?，当n?N时，Cn?1?Cn恒成
bbnb1bbn?1求数列?bn? ?22?33?44?L???1?n?N??，?n2?12?12?12?12?1?? 立？若存在，求实数?的取值范围；若不存在，请说明理由．
参考答案及评分标准
一、选择题：（8×5′ = 40′） 题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 答 案 D B C A D B C D
二、填空题：（6×5′ = 30′）
10y2x2189．16 10．1或? 11．?10 12．??1 13． 14．
54432
三、解答题：（80′） 15．（本小题满分12分）
12 解：（1）由2x?5x?2?0得x1?，x2?2………………………………………………………2分
21 ∴e椭?，e双?2……………………………………………………………………………3分
2x2y2x2y2 设椭圆方程为2?2?1?a?b?0?，双曲线方程为2?2?1?m?0,n?0?
abmn22222 它们的焦点为??c,0?，且a?b?m?n?c?4……………………………………5分
c1?∴a?4………………………………………………………………………6分 a2222 ∴b?a?c?16?4?12 ………………………………………………………………7分
x2y2??1 …………………………………………………………………8分 ∴椭圆方程为
1612c （2）由（1）知e双??2，且c?2 ∴m?1……………………………………………9分
m222 ∴n?c?m?4?1?3…………………………………………………………………10分
y22?1………………………………………………………………11分 ∴双曲线方程为x?3 ∴双曲线的渐近线方程为3x?y?0……………………………………………………12分 16．（本小题满分12分） 解：（1）∵a1?2，a1?a2?a3?12
∴3a1?3d?12………………………………………………………………………………3分 ∴d?2………………………………………………………………………………………4分 ∴an?2??n?1??2?2n …………………………………………………………………6分
∵e椭?n （2）由已知：bn?2n?3…………………………………………………………………………7分 23n ∵Sn?2?3?4?3?6?3?L?2n?3 ①………………………………………8分 234n?1 3Sn?2?3?4?3?6?3?L?2n?3 ②………………………………………9分
23nn?1 ①—②得 ?2Sn?2?3?2?3?2?3?L?2?3?2n?3…………………………10分
? ∴Sn?6?1?3n?3?32n?11?33?1??n?3n?1???n???3n?1……………………………………………12分
2?2??2n?3n?1…………………………………………………11分
17．（本小题满分14分）
3解：（1）∵cosB??0，且0?B??
542 ∴sinB?1?cosB? ………………………………………………………………2分
5ab 由正弦定理得………………………………………………………………4分 ?sinAsinB42?asinB5?2………………………………………………………………6分 sinA??b451 （2）∵SVABC?acsinB?4…………………………………………………………………8分
214 ∴?2?c??4 ∴c?5………………………………………………………10分
25222 由余弦定理得b?a?c?2accosB
32222 ∴b?a?c?2accosB?2?5?2?2?5??17 ………………………14分
5 18．（本小题满分14分）
uuuruuuruuur解：（1）以A为原点，AB,AD,AA1分别为x、y、z轴的正向建立空间直角坐标系，则有
D?0,3,0?,D1?0,3,2?,E?3,0,0?,F?4,1,0?,C1?4,3,2? ……………………………2分
uuuruuuuruuuur 于是，DE??3,?3,0?，EC1??1,3,2?，FD1???4,2,2?…………………………3分
r 设向量n??x,y,z?与平面C1DE垂直，则有
ruuurn?DE?3x?3y?0?1??x?y??z ruuuur???x?3y?2z?0?2n?EC1??r 令z?2，则x?y??1∴n???1,?1,2?………………………………………………5分
uuur ∵向量AA1??0,0,2?与平面CDE垂直
ruuur ∴n与AA1所成的角?为二面角C?DE?C1的平面角 ………………………………6分
ruuurn?AA1?1?0?1?0?2?26? ∵cos??ruuu …………………………………8分 r?31?1?4?0?0?4n?AA12………………………………………………………………………………9分 22 ∴二面角C?DE?C1的正切值为…………………………………………………10分
2 （2）设EC1与FD1所成角为?，则
uuuuruuuur1???4??3?2?2?2EC1?FD121 cos??uuu …………………12分 ??uruuuur214EC1?FD112?32?22???4??22?22 ∴tan?? 所以直线EC1与FD1所成角的余弦值为
21…………………………………………14分 14
19．（本小题满分14分）
解：（1）设D?x,y?
∵l是BC的垂直分线∴DB?DC ∴DB?DA?AC?22?2?AB ∴D点的轨迹图形E是以A、B为焦点的椭圆，其中2a?22,c?1………………5分
x2?y2?1………………………………………………………7分 ∴D点的轨迹方程E：2 （2）设P?x,y?，x???2,2?，则PO?x?y……………………………………8分
2??22 PA??x?1??y………………………………………………………………………9分
222 ??PA?1PO22x?1????y2?1x2?2x?y22x??1?………………………10分
x2?y2x2?y2x2?y22x2x222?y?1 ∴y?1? ………………………………………11分 点P?x,y?满足222x4x?1?2 ??1?2………………………………………………………………12分 xx?2?12 当x≥0时，?≤1
4t4 当x?0时，设t??x，则t?0,2?，??1?2 ………………13分 ?1??2t?2t?t2 ∵t?≥22 ∴?≤1?2 t 当且仅当t?2，即x??2时，?取得最大值1?2……………………………14分
? 20．（本小题满分14分）
解：（1）取p?n,q?1，则an?1?an?a1?an?2 ∴an?1?an?2?n?N??
∴?an?是公差为2、首项为2的等差数列 ∴an?2n……………………………4分
b3bnb1b2b4n?1????L??1?an?n≥1? ① ??21?122?123?124?12n?1bbn?1bbbn?2 ∴11?22?33?44?L???1??an?1?n≥2? ②
2?12?12?12?12n?1?1bnn?1n?1 ①—②得：??1? ∴?2n≥2b??12n?1?2??n≥2?…………6分 ?????nn2?1bn?1n?1? 当n?1时，a1?1 ∴b1?6，满足上式 ∴bn???1??2?2??n?N?……8分
3n?1nn?1? （3）Cn?3???1??2?2???，假设存在?，使Cn?1?Cn?n?N?
（2）∵ 即3n?1???1??2n?2?2????3n???1?nnn?1?2n?1?2???
????1???2n?2?2????1?n?1?2n?1?2?????3n?3n?1??2?3n
? ???1?n?3?2n?1?4?????2?3n…………………………………………………………9分
当n为正偶数时，3?2?n?1?4?????2?3n恒成立
?3n? ∴?????n3?2?2??max????1? ???nn??2??1??3??2????????3??3??max?????1199????? ∵?? ∴…………11分 ???nn22??1414?2??1??2??1?3????2????3????2?????3??3??max?3??3?? 当n为正奇数时，?3?2n?1?4????2?3n恒成立
???3n? ∴????n3?2?2??min????1? ??nn??2??1??3??2????????3??min??3?????1133??? ∵? ∴………………………13分 ??n11??2?n?88?1??2??1?3????2????3????2?????3??min?3??3???3??93?? 综上所述，存在实数????,?，使n?N时，Cn?1?Cn恒成立…………………14分
?148?
北师大附中高二期末考试（含详细答案和评分标准）
