专题十六 圆锥曲线与方程
x2y2（2019·全国Ⅰ文科）双曲线C:2?2?1(a?0,b?0)的 一条渐近线的倾斜角为130°，则
abC的离心率为 A. 2sin40° 【答案】D
【分析】由双曲线渐近线定义可得?B. 2cos40°
C.
1
sin50?D.
1
cos50?bb?tan130?,??tan50?，再利用aac?b?e??1???求双曲线的离心率．
a?a?【详解】由已知可得?22bb?tan130?,??tan50?， aacsin250?sin250??cos250?1?b?2，?e??1????1?tan50??1???22acos50?cos50?cos50??a?故选D．
x2y2c?b?【点睛】对于双曲线：2?2?1?a?0,b?0?，有e??1???；对于椭圆aba?a?x2y2c?b?，防止记混． ，有??1a?b?0e??1?????a2b2a?a?（2019·全国Ⅰ文科）已知椭圆C的焦点为F1(?1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，
22│F2B││?│BF│B两点.若│AF│，│AB2?21，则C的方程为
x2A. ?y2?1
2x2y2??1 54x2y2B. ??1
32x2y2C. ??1
43D.
【答案】B
【分析】可以运用下面方法求解：如图，由已知可设F2B?n，则
AF2?2n,BF1?AB?3n，由椭圆的定义有
2a?BF1?BF2?4n,?AF1?2a?AF2?2n．在△AF1F2和△BF1F2中，由余弦定理得?4n2?4?2?2n?2?cos?AF2F1?4n2,?22?n?4?2?n?2?cos?BF2F1?9n，
又
?AF2F1,?BF2F1互补，
?cos?AF2F1?cos?BF2F1?0，两式消去cos?AF2F1,cos?BF2F1，得3n2?6?11n2，
解得n?3．?2a?4n?23,?a?3,?b2?a2?c2?3?1?2,?所求椭圆方程为2x2y2??1，故选B． 32【详解】如图，由已知可设F2B?n，则AF2?2n,BF1?AB?3n，由椭圆的定义有
2a?BF1?BF2?4n,?AF1?2a?AF2?2n．在△AF1B中，由余弦定理推论得
14n2?9n2?9n2122在△AF1F2中，由余弦定理得4n?4n?2?2n?2n??4，cos?F1AB??．
32?2n?3n3解得n?3． 2222x2y2?2a?4n?23,?a?3,?b?a?c?3?1?2,?所求椭圆方程为??1，
32故选B．
【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．
（2019·全国Ⅱ文科）若抛物线y=2px（p>0）的焦点是椭圆p= A. 2
B. 3
2
x23p?y2p?1的一个焦点，则
C. 4 【答案】D
D. 8
【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于p的方程，即可解出p，或者利用检验排除的方法，如p?2时，抛物线焦点为（1，0），椭圆焦点为（±2，0），排除A，同样可排除B，C，故选D．
22xyp??1的一个焦点，所以【详解】因为抛物线y2?2px(p?0)的焦点(,0)是椭圆
3pp2p3p?p?()2，解得p?8，故选D．
2【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．
x2y2（2019·全国Ⅱ文科）设F为双曲线C：2?2?1（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原
ab222
点，以OF为直径的圆与圆x+y=a交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为
A. C. 2
2
B. D.
3 5
【答案】A
【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率．
【详解】设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQ?x轴，
又
PQ?|OF|?c，?|PA|?,?PA为以OF为直径的圆的半径，
c． 2c2?A为圆心|OA|??cc??P?,?，又P点在圆x2?y2?a2上，
?22?c2c2c2c2222???a，即?a,?e?2?2． 442a?e?2，故选A．
【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来． （2019·天津文科）已知抛物线y?4x的焦点为F，准线为l.若与双曲线
2x2y2?2?1(a?0,b?0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|?4|OF|（O为原2ab点），则双曲线的离心率为 A.
2
B.
3
C. 2 D.
5 【答案】D
【分析】只需把AB?4OF用a,b,c表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。
【详解】l的方程为x??1，双曲线的渐近线方程为y??bx， abbaa2b2b?4，b?2a， 所以AB?，
aa故得A(?1,),B(?1,?)，
ca2?b2所以e???5。
aa故选D。
x2y2c?b?【点睛】双曲线2?2?1(a?0,b?0)的离心率e??1???. aba?a?2x2（2019·北京文科）已知双曲线2?y2?1（a＞0）的离心率是5 则a=
aA.
6
B. 4 C. 2 D.
1 2【答案】D
【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于A的方程求解. 【详解】分析：详解： ∵双曲线的离心率e?c?5 ，c?a2?1 ， aa2?1∴?5 ，
a解得a?故选D.
【点睛】对双曲线基础知识和基本计算能力的考查.
（2019·浙江）渐近线方程为x?y?0的双曲线的离心率是（ ） A. C.
2 21 ， 2B. 1 D. 2
2
【答案】C
【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得a?b?1，进一步可得离心率.容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.
【详解】因为双曲线的渐近线为x?y?0，所以a=b=1，则c?a2?b2?2，双曲线的离心率e?c?2. a【点睛】理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误.
x2y2（2019·全国Ⅲ文科）设F1，F2为椭圆C:+?1的两个焦点，M为C上一点且在第
3620一象限.若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为___________. 【答案】3,15
??
2017-2018-2019年三年高考数学文科真题分类汇编(解析版) 专题16 圆锥曲线与方程
