函数记号“f(x)”有关问题
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3、1（2）含有函数记号“f(x)”有关问题解法
【教学目标】：1、能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质
2、培养灵活性，提高解题能力，优化学生数学思维素质。
【教学重点】：含有函数记号“f(x)”有关问题常见解法及意义 【教学难点】：采用适当的方法解决问题 【教学过程】： （一）求表达式： 1.换元法：即用中间变量
表示原自变量x的代数式，从而求出f(u)，这也是
证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。 例：已知f(x)?2x?1，求f(x). x?1解：设
xu ?u，则x?x?11?uu2?u ?1?i?u1?u?f(u)?2?f(x)?2?x 1?x2.凑合法：在已知f[g(x)]=h(x)的条件下，把h(x)并凑成以g(u)表示的代数式，再利用代换换即可求f（x).此解法简洁，还能进一步复习代换法。
11例：已知f(x?)?x3?3,求f(x)
xx11111解：?f(x?)?(x?)(x2?1?2)?(x?)[(x?)2?3]
xxxxx?f(x)?x(x2?3)?x3?3x
3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例1． 已知f(x)二次实函数，且f(x+1)+f(x-1)=x2?2x?4,求f(x).
解:设f(x)?ax2?bx?c,则
f(x+1)+f(x-1)= a?x?1??b?x?1??c?a?x?1??b?x?1??c
22则：2ax2?2bx?2(a?c)?x2?2x?4
?2a?11313?比较系数?2b?2 ?a?,b?1,c? ?f(x)?x2?x?
2222?2(a?c)?4?4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式. 例1.∵y=f(x)为奇函数,当 x>0时,f(x)=lg(x+1),求f(x)
解:∵f(x)为奇函数，∴f(x)的定义域关于原点对称，故先求x<0时的表达式。 ∵-x>0,∴f(-x)=lg(-x+1)=lg(1-x),∵f(x)为奇函数，∴lg(1-x)=f(-x)=-f(x) ∴当x<0时f(x)=-lg(1-x)
?lg(x?1),x?0∴f(x)??
??lg(x?1),x?0例2．已知f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且有f(x)?g(x)?1求f(x),g(x). x?1解：∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),不妨用-x代
1换f(x)?g(x)?①中的x,
x?1∴f(-x)+g(-x)=
11即f(x)?g(x)?,② ?x?1?x?1
显见①+②即可消去g(x),求出函数f(x)?1x再代入①求出g(x)= 22x?1x?15.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出f(x)的表达式
例：设f(x)的定义域为自然数集，且满足条件f(x+y)=f(X)+f(y)+xy,及f(1)=1,
求f(x)
解：∵f(x)的定义域为N，取y=1,则有f(x+1)=f(x)+x+1,∵f(x)=1,∴f(2)=f(1)+2,f(3)=f(2)+3,…f(n)=f(n-1)+n,以上各式相加，有f(n)=1+2+3+…+n=
n(n?1) 2∴f(x)=
n(n?1) 2（二）利用函数性质，解f(x)的有关问题 1.判断函数的奇偶性：
例 已知f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),对一切实数x、y都成立，且f(0)≠ 0,求证f(x)为偶函数。
证明：令x=0, 则已知等式变为f(y)+f(-y)=2f(0)f(y).①，在①中令y=0则2f(0)=2f2(0),∵ f(0)≠0,∴f(x)为偶函数。 2.确定参数的取值范围
例：奇函数f(X)在定义域（-1，1）内递减，求满足f(1-m)+f(1-m)<0的实数m的取值范围。
解：由f(1-m)+f(1-m)<0得由f(1-m)〈-f(1-m)，
∵f(x)为函数，∴f(1-m)〈f(m-1),又∵f(x)在（-1，1）内递减，
??1?1?m?1?2??1?m?1?1 解得 0
函数记号“fx”有关问题
