. 2-21
这是一个变量分离方程,其通解为
. 2-22
再利用变换 2-19 可得原方程 2-18 的通解.这时若存在使得,则也是 2-18 的解[11].
求解方程 .
解 此方程是齐次方程.令,代入原方程,得 . 即
. 2-23
当时,分离变量得 .
等式两边积分,得到 . 整理得
. 2-24
另外,由,即,知方程 2-23 还有解,.若在式 2-24 中允许,
则这些解包含在式 2-24 之中.
再用换回原变量,就得到原方程的通积分为 ,是任意常数. 求解方程 .
解 方程可以改写为 ,
故它是齐次方程.令,则,代入原方程,得 . 整理得
. 2-25
若,分离变量,得 .
等式两边积分,得到
. 2-26
由,知方程 2-25 还有解,.但是,若在式 2-26 中允许,则解包含在式 2-26 之中.
再用代入式 2-26 ,得到原方程的通积分为 ,为任意常数. 另外,由可得解.
形如
2-27
的方程也可经过变量替换化为变量分离方程,这里均为常数.对于这种方程,我们分三种情形来讨论:①
① 常数 情形. 这时方程化为 , 有通解为
, c为任意常数 . ② 情形. 即 , 令 , 这时有 ,
这是一个变量分离方程,我们可以用变量分离法求得它的解. ③ 情形. 即 ,
若不全为0,这时可做变换
,
从而所求方程变为 ,
这也是一个变量分离方程,可通过变量分离法求解. 若,则可取变换,再用变量分离法求得[8]. 求解方程
2-28
解 容易看出,方程 2-28 是属于上面的情形③,因此先求出方程组
, 的解为.令 ,
代入方程 2-28 ,则有
, 2-29
再令,即,则 2-29 化为 ,
等式两边积分,得 , 因此 ,
记,并代回原变量,得 , .
此外,容易验证 , 即
也是方程 2-29 的解,因此方程 2-28 的通解为 ,
其中为任意常数. 求解方程
. 2-30
解 解方程组 , 得.令 ,
代入方程 2-30 ,则有
. 2-31
再令,即,则方程 2-31 化为 .
解此方程,得
【数学与应用数学专业】【毕业论文 文献综述 开题报告】几类常微分方程典型的解法(可编辑)
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