． 2-21
这是一个变量分离方程，其通解为
． 2-22
再利用变换 2-19 可得原方程 2-18 的通解．这时若存在使得，则也是 2-18 的解[11]．
求解方程 ．
解 此方程是齐次方程．令，代入原方程，得 ． 即
． 2-23
当时，分离变量得 ．
等式两边积分，得到 ． 整理得
． 2-24
另外，由，即，知方程 2-23 还有解，．若在式 2-24 中允许，
则这些解包含在式 2-24 之中．
再用换回原变量，就得到原方程的通积分为 ，是任意常数． 求解方程 ．
解 方程可以改写为 ，
故它是齐次方程．令，则，代入原方程，得 ． 整理得
． 2-25
若，分离变量，得 ．
等式两边积分，得到
． 2-26
由，知方程 2-25 还有解，．但是，若在式 2-26 中允许，则解包含在式 2-26 之中．
再用代入式 2-26 ，得到原方程的通积分为 ，为任意常数． 另外，由可得解．
形如
2-27
的方程也可经过变量替换化为变量分离方程，这里均为常数．对于这种方程，我们分三种情形来讨论：①
① 常数 情形． 这时方程化为 ， 有通解为
， c为任意常数 ． ② 情形． 即 ， 令 ， 这时有 ，
这是一个变量分离方程，我们可以用变量分离法求得它的解． ③ 情形． 即 ，
若不全为0，这时可做变换
，
从而所求方程变为 ，
这也是一个变量分离方程，可通过变量分离法求解． 若，则可取变换，再用变量分离法求得[8]． 求解方程
2-28
解 容易看出，方程 2-28 是属于上面的情形③，因此先求出方程组
， 的解为．令 ，
代入方程 2-28 ，则有
， 2-29
再令，即，则 2-29 化为 ，
等式两边积分，得 ， 因此 ，
记，并代回原变量，得 ， ．
此外，容易验证 ， 即
也是方程 2-29 的解，因此方程 2-28 的通解为 ，
其中为任意常数． 求解方程
． 2-30
解 解方程组 ， 得．令 ，
代入方程 2-30 ，则有
． 2-31
再令，即，则方程 2-31 化为 ．
解此方程，得
【数学与应用数学专业】【毕业论文 文献综述 开题报告】几类常微分方程典型的解法(可编辑)
