一. 教案内容：
第十一章 机械振动 本章知识复习归纳
二. 重点、难点解读 （一）机械振动
物体（质点）在某一中心位置两侧所做的往复运动就叫做机械振动，物体能够围绕着平衡位置做往复运动，必然受到使它能够回到平衡位置的力即回复力。回复力是以效果命名的力，它可以是一个力或一个力的分力，也可以是几个力的合力。
产生振动的必要条件是：a、物体离开平衡位置后要受到回复力作用。b、阻力足够小。
（二）简谐振动
1. 定义：物体在跟位移成正比，并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动叫简谐振动。简谐振动是最简单，最基本的振动。研究简谐振动物体的位置，常常建立以中心位置（平衡位置）为原点的坐标系，把物体的位移定义为物体偏离开坐标原点的位移。因此简谐振动也可说是物体在跟位移大小成正比，方向跟位移相反的回复力作用下的振动，即F=－kx，其中“－”号表示力方向跟位移方向相反。
2. 简谐振动的条件：物体必须受到大小跟离开平衡位置的位移成正比，方向跟位移方向相反的回复力作用。
3. 简谐振动是一种机械运动，有关机械运动的概念和规律都适用，简谐振动的特点在于它是一种周期性运动，它的位移、回复力、速度、加速度以及动能和势能（重力势能和弹性势能）都随时间做周期性变化。
（三）描述振动的物理量，简谐振动是一种周期性运动，描述系统的整体的振动情况常引入下面几个物理量。
1. 振幅：振幅是振动物体离开平衡位置的最大距离，常用字母“A”表示，它是标量，为正值，振幅是表示振动强弱的物理量，振幅的大小表示了振动系统总机械能的大小，简谐振动在振动过程中，动能和势能相互转化而总机械能守恒。
2. 周期和频率，周期是振子完成一次全振动的时间，频率是一秒钟内振子完成全振动的次数。振动的周期T跟频率f之间是倒数关系，即T=1/f。振动的周期和频率都是描述振动快慢的物理量，简谐振动的周期和频率是由振动物体本身性质决定的，与振幅无关，所以又叫固有周期和固有频率。
（四）单摆：摆角小于5°的单摆是典型的简谐振动。
细线的一端固定在悬点，另一端拴一个小球，忽略线的伸缩和质量，球的直径远小于悬线长度的装置叫单摆。单摆做简谐振动的条件是：最大摆角小于5°，单摆的回复力F是重力在圆弧切线方向的分力。单摆的周期公式是T=。由公式可知单摆做简谐振动的固有周期与振幅，摆球质量无关，只与L和g有关，其中L是摆长，是悬点到摆球球心的距离。g是单摆所在处的重力加速度，在有加速度的系统中（如悬挂在升降机中的单摆）其g应为等效加速度。
（五）振动图象。
简谐振动的图象是振子振动的位移随时间变化的函数图象。所建坐标系中横轴表示时间，纵轴表示位移。图象是正弦或余弦函数图象，它直观地反映出简谐振动的位移随时间作周期性变化的规律。要把质点的振动过程和振动图象联系起来，从图象可以得到振子在不同时刻或不同位置时位移、速度、加速度，回复力等的变化情况。
（六）阻尼振动、受迫振动、共振。
简谐振动是一种理想化的振动，当外界给系统一定能量以后，如将振子拉离开平衡位置，放开后，振子将一直振动下去，振子在做简谐振动的图象中，振幅是恒定的，表明系统机械能不变，实际的振动总是存在着阻力，振动能量总要有所耗散，因此振动系统的机械能总要减小，其振幅也要逐渐减小，直到停下来。振幅逐渐减小的振动叫阻尼振动，阻尼振动虽然振幅越来越小，但振动周期不变，振幅保持不变的振动叫无阻尼振动。
振动物体如果在周期性外力──策动力作用下振动，那么它做受迫振动，受迫振动达到稳定时其振动周期和频率等于策动力的周期和频率，而与振动物体的固有周期或频率无关。
物体做受迫振动的振幅与策动力的周期（频率）和物体的固有周期（频率）有关，二者相差越小，物体受迫振动的振幅越大，当策动力的周期或频率等于物体固有周期或频率时，受迫振动的振幅最大，叫共振。
【典型例题】
[例1] 一弹簧振子在一条直线上做简谐运动，第一次先后经过M、N两点时速度v（v≠0）相同，那么，下列说法正确的是（ ）
A. 振子在M、N两点受回复力相同
B. 振子在M、N两点对平衡位置的位移相同 C. 振子在M、N两点加速度大小相等
D. 从M点到N点，振子先做匀加速运动，后做匀减速运动
解读：建立弹簧振子模型如图所示，由题意知，振子第一次先后经过M、N两点时速度v相同，那么，可以在振子运动路径上确定M、N两点，M、N两点应关于平衡位置O对称，且由M运动到N，振子是从左侧释放开始运动的（若M点定在O点右侧，则振子是从右侧释放的）。建立起这样的物理模型，这时问题就明朗化了。
因位移、速度、加速度和回复力都是矢量，它们要相同必须大小相等、方向相同。M、N两点关于O点对称，振子回复力应大小相等、方向相反，振子位移也是大小相等，方向相反。由此可知，A、B选项错误。振子在M、N两点的加速度虽然方向相反，但大小相等，故C选项正确。振子由M→O速度越来越大，但加速度越来越小，振子做加速运动，但不是匀加速运动。振子由O→N速度越来越小，但加速度越来越大，振子做减速运动，但不是匀减速运动，故D选项错误，由以上分析可知，该题的正确答案为C。
点评：（1）认真审题，抓住关键词语。本题的关键是抓住“第一次先后经过M、N两点时速度v相同”。 （2）要注意简谐运动的周期性和对称性，由此判定振子可能的路径，从而确定各物理量及其变化情况。 （3）要重视将物理问题模型化，画出物理过程的草图，这有利于问题的解决。
[例2] 一质点在平衡位置O附近做简谐运动，从它经过平衡位置起开始计时，经0.13 s质点第一次通过M点，再经0.1 s第二次通过M点，则质点振动周期的可能值为多大?
解读：将物理过程模型化，画出具体的图景如图1所示。设质点从平衡位置O向右运动到M点，那么质点从O到M运动时间为0.13 s，再由M经最右端A返回M经历时间为0. 1 s；如图2所示。
另有一种可能就是M点在O点左方，如图3所示，质点由O点经最右方A点后向左经过O点到达M点历时0.13 s，再由M向左经最左端A，点返回M历时0.1 s。
根据以上分析，质点振动周期共存在两种可能性。
如图2所示，可以看出O→M→A历时0.18 s，根据简谐运动的对称性，可得到T1＝4×0.18 s＝0.72 s。 另一种可能如图3所示，由O→A→M历时tl＝0.13 s，由M→A’历时t2＝0.05 s 设M→O历时t，则4（t+t2）＝t1+2t2+t，解得t＝0. 01 s，则T2＝4（t+t2）＝0.24 s 所以周期的可能值为0.72 s和0.24 s
说明：
（1）本题涉及的知识有：简谐运动周期、简谐运动的对称性。 （2）本题的关键是：分析周期性，弄清物理图景，判断各种可能性。
（3）解题方法：将物理过程模型化、分段分析、讨论。
[例3] 甲、乙两弹簧振子，振动图象如图所示，则可知（ ）
A. 两弹簧振子完全相同
B. 两弹簧振子所受回复力最大值之比F甲∶F乙=2∶1 C. 振子甲速度为零时，振子乙速度最大 D. 振子的振动频率之比f甲∶f乙=1∶2
解读：从图象中可以看出，两弹簧振子周期之比T甲∶T乙=2∶1，得频率之比f甲∶f乙=1∶2，D正确。弹簧振子周期与振子质量、弹簧劲度系数k有关，周期不同，说明两弹簧振子不同，A错误。由于弹簧的劲度系数k不一定相同，所以两振子受回复力（F=kx）的最大值之比F甲∶F乙不一定为2∶1，所以B错误，对简谐运动进行分析可知，在振子到达平衡位置时位移为零，速度最大；在振子到达最大位移处时，速度为零，从图象中可以看出，在振子甲到达最大位移处时，振子乙恰到达平衡位置，所以C正确。答案为C、D。
点评：（1）图象法是物理问题中常见的解题方法之一，是用数学手段解决物理问题能力的重要体现。应用图象法解物理问题要明确图象的数学意义，再结合物理模型弄清图象描述的物理意义，两者结合，才能全面地分析问题。
（2）本题中涉及知识点有：振幅、周期、频率、影响周期的因素、简谐运动在特殊点的速度、回复力、简谐运动的对称性等。
（3）分析本题的主要方法是数与形的结合（即图象与模型相结合）分析方法。
[例4] 在海平面校准的摆钟，拿到某高山山顶，经过t时间，发现表的示数为t′，若地球半径为R，求山的高度h（不考虑温度对摆长的影响）。
解读：由钟表显示时间的快慢程度可以推知表摆振动周期的变化，而这种变化是由于重力加速度的变化引起的，所以，可以得知由于高度的变化引起的重力加速度的变化，再根据万有引力公式计算出高度的变化，从而得出山的高度。
一般山的高度都不是很高（与地球半径相比较），所以，由于地球自转引起的向心力的变化可以不考虑，而认为物体所受向心力不变且都很小，物体所受万有引力近似等于物体的重力。
（1）设在地面上钟摆摆长l，周期为T0，地面附近重力加速度g，拿到高山上，摆振动周期为T′，重力加速度为
g′，应有
从而
（2）在地面上的物体应有
在高山上的物体应有
得
点评：（1）本题涉及知识点：单摆的周期及公式，影响单摆周期的因素，万有引力及公式，地面附近重力与万有引力关系等。
（2）解题关键：抓住影响单摆周期的因素g，找出g的变化与t变化的关系，再根据万有引力知识，推出g变化与高度变化关系，从而顺利求解。
[例5] 在光滑水平面上，用两根劲度系数分别为k1、k2的轻弹簧系住一个质量为m的小球。开始时，两弹簧均处于原长，后使小球向左偏离x后放手，可以看到小球将在水平面上作往复振动。试问小球是否作简谐运动？
解读：为了判断小球的运动性质，需要根据小球的受力情况，找出回复力，确定它能否写成F=－kx的形式。 以小球为研究对象，竖直方向处于力平衡状态，水平方向受到两根弹簧的弹力作用。设小球位于平衡位置O左方某处时，偏离平衡位置的位移为x，则左方弹簧受压，对小球的弹力大小为f1=k1x，方向向右。
右方弹簧被拉伸，对小球的弹力大小为f2=k2x，方向向右。
小球所受的回复力等于两个弹力的合力，其大小为F=f1+f2=（k1+k2）x，方向向右。 令k=k1+k2，上式可写成F=kx。
由于小球所受回复力的方向与位移x的方向相反，考虑方向后，上式可表示为F=－kx。 所以，小球将在两根弹簧的作用下，沿水平面作简谐运动。
点评：由本题可归纳出判断物体是否作简谐运动的一般步骤：确定研究对象（整个物体或某一部分）→分析受力情况→找出回复力→表示成F=－kx的形式（可以先确定F的大小与x的关系，再定性判断方向）。
[例6] 如图所示，一轻质弹簧竖直放置，下端固定在水平面上，上端处于a位置，当一重球放在弹簧上端静止时，弹簧上端被压缩到b位置。现将重球（视为质点）从高于a位置的c位置沿弹簧中轴线自由下落，弹簧被重球压缩到最低位置d。以下关于重球运动过程的正确说法应是（ ）
A. 重球下落压缩弹簧由a至d的过程中，重球做减速运动。 B. 重球下落至b处获得最大速度。 C. 重球下落至d处获得最大加速度。
D. 由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由c下落至d处时重力势能减少量。
解读：重球由c至a的运动过程中，只受重力作用，做匀加速运动；由a至b的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力大于弹力，做加速度减小的加速运动；由b至d的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力小于弹力，做加速度增大的减速运动。所以重球下落至b处获得最大速度，由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由c下落至d处时重力势能减少量，即可判定B、D正确。C选项很难确定是否正确，但利用弹簧振子的特点就可非常容易解决这一难题。重球接触弹簧以后，以b点为平衡位置做简谐运动，在b点下方取一点a＇，使ab= a′b，根据简谐运动的对称性，可知，重球在a、a＇的加速度大小相等，方向相反，如图所示。而在d点的加速度大于在a＇点的加速度，所以重球下落至d处获得最大加速度，C选项正确。
答案：BCD
[例7] 若单摆的摆长不变，摆角小于5°，摆球质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置的速度减小为原来的1/2，则单摆的振动（ ）
A. 频率不变，振幅不变 B. 频率不变，振幅改变
C. 频率改变，振幅改变 D. 频率改变，振幅不变
解读：单摆的周期T=，与摆球质量和振幅无关，只与摆长L和重力加速度g有关。当摆长L和重力加速度g不变时，T不变，频率f也不变。选项C、D错误。单摆振动过程中机械能守恒。摆球在最大位置A的重力势能等于摆球运动到平衡位置的动能，即mgL（1－cosθ）=
m υ 2υ=
，当υ减小为υ/2时，
增
大，减小，振幅A减小，选项B正确。
点评：单摆的周期只与摆长和当地重力加速度有关，而与摆球质量和振动幅无关，摆角小于5°的单摆是简谐振动，机械能守恒。
【模拟试卷】
一. 选择题
1. 弹簧振子作简谐运动，t1时刻速度为v，t2时刻也为v，且方向相同。已知（t2－t1）小于周期T，则（t2－t1）（AB ）
A. 可能大于四分之一周期 B. 可能小于四分之一周期 C. 一定小于二分之一周期 D. 可能等于二分之一周期
2. 有一摆长为L的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部将被小钉挡住，使摆长发生变化，现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点M至左边最高点N运动过程的闪光照片，如图所示，（悬点和小钉未被摄入），P为摆动中的最低点。已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知，小钉与悬点的距离为（ C ）
A. L/4 B. L/2 C. 3L/4 D. 无法确定
3. A、B两个完全一样的弹簧振子，把A振子移到A的平衡位置右边10cm，把B振子移到B的平衡位置右边5cm，然后同时放手，那么（ A ）
A. A、B运动的方向总是相同的 B. A、B运动的方向总是相反的
C. A、B运动的方向有时相同、有时相反 D. 无法判断A、B运动的方向的关系 4. 在下列情况下，能使单摆周期变小的是（ C） A. 将摆球质量减半，而摆长不变 B. 将单摆由地面移到高山 C. 将单摆从赤道移到两极
D. 将摆线长度不变，换一较大半径的摆球
5. 把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，筛子做自由振动时，完成20次全振动用15s，在某电压下，电动偏心轮转速是88 r/min，已知增大电动偏心轮的电压，可以使其转速提高，增加筛子的质量，可以增大筛子的固有周期，要使筛子的振幅增大，下列做法中，正确的是（AD ）
A. 降低输入电压 B. 提高输入电压 C. 增加筛子的质量 D.
6. 一质点作简谐运动的图象如图所示，则该质点（ BD ） A. 在0.015s时，速度和加速度都为－x方向。
B. 在0.01至0.03s内，速度与加速度先反方向后同方向，且速度是先减小后增大，加速度是先增大后减小。 C. 在第八个0.01s内，速度与位移方向相同，且都在不断增大。 D. 在每1s内，回复力的瞬时功率有100次为零。
高中物理机械振动知识点总结
