方法四 分离（常数）参数法
分离（常数）参数法是高中数学中比较常见的数学思想方法，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系，其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高，随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 1 分离常数法
分离常数法在含有两个量（一个常量和一个变量）的关系式（不等式或方程）中，要求变量的取值范围，可以将变量和常量分离（即变量和常量各在式子的一端），从而求出变量的取值范围. 1.1 用分离常数法求分式函数的最值（值域）
分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有y?ax?b，cx?dm?sinx?nax2?bx?cm?ax?ny?，y?， 等，解题的关键是通过恒等变形从分式函数中分离y?2p?sinx?qmx?nx?pp?ax?q出常数.
2ax?4?a例1. 已知函数f?x??（a?0且a?1）是定义在R上的奇函数.
2ax?a（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数f?x?的值域；
（Ⅲ）当x?1,2时， 2?mf?x??2?0恒成立，求实数m的取值范围.
x??【答案】(Ⅰ) a?2；(Ⅱ) ??1,1?；(Ⅲ) ?【解析】试题分析：
?10?,???. ?3?2a?x?4?a2ax?4?a??(Ⅰ)由函数为奇函数可得f??x???f?x?，即，可得a?2．（Ⅱ）分离常数?xx2a?a2a?a可得f?x??1?22x2?1?1?1?1??1，，故函数为增函数，再由，可得即可得函数的值域．(Ⅲ)
2x?12x?1x2?通过分离参数可得m??12x?22?1x???在x??1,2?时恒成立，令t?2x?1，?1?t?3?，则有
m??t?2??t?1??t?2?1tt，根据函数y?t?2?1的单调性可得函数的最大值，从而可得实数m的取值t
范围
2?2x?22x?12??1?（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f?x??， xxx2?2?22?12?1∴函数f?x?在R上单调递增， 又2?1?1，
x2?0， x2?12?1． ∴?1?1?x2?1∴?2??∴函数f?x?的值域为??1,1?．
2x?1?0． （Ⅲ）当x??1,2?时， f?x??x2?12x?1?2x?2在x??1,2?时恒成立， 由题意得mf?x??mx2?12?∴m?xx?12x?22x?1???在x??1,2?时恒成立．
令t?2?1，?1?t?3?，
则有m??t?2??t?1??t?2?1tt，
∵当1?t?3时函数y?t?2?1为增函数， t
∴?t?∴m???2?10?1??. t?max310. 3故实数m的取值范围为??10?,???． ?3?例2.一种作图工具如图1所示．短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ONO是滑槽AB的中点，连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且DN?ON?1，MN?3．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动，M处的笔尖画出的曲线记为C．以O为原点，AB所在的．．N绕O转动一周（D不动时，N也不动）直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线l与两定直线l1:x?2y?0和l2:x?2y?0分别交于P,Q两点．若直线l总与曲线C有且只有一个公共点，试探究：?OQP的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．
y NADOBM N D O x
M
第21题图2
第21题图1
x2y2【答案】（Ⅰ）?（Ⅱ）存在最小值8. ?1；
164【解析】（Ⅰ）设点D(t,0)(|t|?2)，N(x0,y0),M(x,y)，依题意，
22??(x0?t)?y0?1,?t?x?2x0?2t,MD?2DN，且|DN|?|ON|?1，所以(t?x,?y)?2(x0?t,y0)，且?2即?且2y??2y.x?y?1.0??0?0xyt(t?2x0)?0. 由于当点D不动时，点N也不动，所以t不恒等于0，于是t?2x0，故x0?,y0??，代入
42x2y2x2y2x?y?1，可得??1，即所求的曲线C的方程为??1.
1641642024
?y?kx?m,2mm?2mm又由? 可得P(,)；同理可得Q(,).
x?2y?0,1?2k1?2k1?2k1?2k?由原点O到直线PQ的距离为d?|m|1?k2和|PQ|?1?k2|xP?xQ|，可得
S?OPQ1112m2m2m2. ② ?|PQ|?d?|m||xP?xQ|??|m|??2221?2k1?2k1?4k2将①代入②得，S?OPQ4k2?12m2. ??821?4k24k?114k2?12当k?时，S?OPQ?8(2)?8(1?2)?8；
44k?14k?1214k2?12当0?k?时，S?OPQ?8()?8(?1?).
41?4k21?4k22因0?k2?122，则0?1?4k2?1，，所以?2S?8(?1?)?8，当且仅当k?0时取等号. ?OPQ41?4k21?4k2所以当k?0时，S?OPQ的最小值为8.
综合（1）（2）可知，当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时，?OPQ的面积取得最小值8. 1.2 用分离常数法判断分式函数的单调性
例3.已知函数，判断函数的单调性.
【答案】当时，函数在和上是减函数；当时，函数在和上是增函数.
【解析】由已知有，，∴当时，函数在和上是减函数；当时，函数在和上是增函数.
例4.【2024届高三训练】若不等式x＋ax＋1≥0对一切x∈2
恒成立，则a的最小值为( )
A. 0 B. －2 C. －【答案】C
D. －3
2 分离参数法
分离常数参数法-高考理科数学解题方法讲义
