ax?1. 60. 求极限 limx?0x答案: 一.选择题
1.A 【分析】 本题可直接推证,但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.
【详解】 方法一:任一原函数可表示为F(x)??0f(t)dt?C,且
F?(x)?f(x).
x当F(x)为偶函数时,有F(?x)?F(x),于是F?(?x)?(?1)?F?(x),即
?f(?x)?f(x),也即f(?x)??f(x),可见f(x)为奇函数;反过来,若f(x)
为奇函数,则?0f(t)dt为偶函数,从而F(x)??0f(t)dt?C为偶函数,可见(A)为正确选项.
方法二:令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=x2, 排除(D); 故应选(A).
【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多
次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? 2. D【分析】 显然x=0,x=1为间断点,其分类主要考虑左右极限.
【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义,因此是间断点.
f(x)??,所以x=0为第二类间断点; 且 limx?0xx12 limf(x)?0,limf(x)??1,所以x=1为第一类间断点,故应选(D).
x?1?x?1?xx???lim???. 从而limex?1???,【评注】 应特别注意:lim,???x?1x?1x?1x?1x?1xx?1?limexx?1?0.
3 C 4 A 5 C 6 C 7 A 8 C
∵x→∞时,分母极限为令,不能直接用商的极限法则。先恒等变形,将函数“有理化”: 1原式 = lim(x?1?1)(x?1?1)?lim?1. (有理化法) x?0x?0x(x?1?1)x?1?129 D 10 C
x?1x2tanx(1?cosx)12解 原式?lim. ▌ ?lim?x?0x?0(2x)38x316注 等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限,不能在代数和的情形中使用。如上例
中若对分子的每项作等价替换,则 错误! 原式?limx?0x?x?0. (2x)3
二.填空题 11. 2 12. 1 13. 0 14 . 5
15 . e?2 16. x?1,2
3e17 .(??,??) [0,??) 18. (??,??) {?1,0,1}
19 . 在某一极限过程中,以0为极限的变量,称为该极限过程中的无穷小量 20 . ① 函数y ? f (x) 在点x0有定义; ② x→x0 时极限
x?x0limf(x)存在;
x?x0③ 极限值与函数值相等,即
limf(x)?f(x0) 三. 计算题
21 . 【分析】 \???\型未定式,一般先通分,再用罗必塔法则.
x?x2?1?e?x1?x1x?x2?1?e?x【详解】 lim(=lim ?)?lim2?xx?0x?01?e?xx?0xxx(1?e)1?2x?e?x2?e?x3?. =lim=limx?0x?02x2222. f(x)=3lnx+1 x>0 23.24.e 25. 26. ln3; 27. 3
28. 解:由x+2≥0解得x≥-2
由x-1≠0解得x≠1 由5-2x>0解得x<2.5 函数的定义域为
{x|2.5>x≥-2且x≠1}或表示为(2.5,1)∪(1,-2)
2
1629. ⑴、⑸是同一函数,因为定义域和对应法则都相同,表示变量的
字母可以不同。⑵⑶不是同一函数,因为它们的定义域不相同。⑷不是同一函数,因为它们对应的函数值不相同,即对应法则不同。 30. 解:f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x,
f(f(x))=f(x2-1)=(x2-1)2-1=x4-2x2 f(f(3)+2)=f(32-1+2)=f(10)=99
3n2?5n?153??223n?5n?1nn?lim?lim31 . 解:nlim22???6n?4n?7n???6n?4n?7n???46??2nn1n27 n211?lim23?0?01n???n???nn???n???
11lim6?4lim?7lim26?0?02n???n???nn???nlim3?5limn(n?1)21?2???nn?n12?lim?lim? 32. 解:nlim222???n???n???nn2n2(n?1?n)?lim33 . 解: nlim???n???1?limn?1?nn???(n?1?n)(n?1?n)
n?1?n1n???n?0
n?1lim?lim1n???nn???lim ?nlim???1n?n?1?1n22()n?1lim()n?lim12?30?1n???3n???3?lim????1 34 . 解:nlim???2n?3nn???2n2n0?1()?1lim()?lim1n???3n???3nn35 . 解:⑴
limy?2,limy?3 ,lim?y?lim?y 因为 x???2x?2x?2x?2 所以 函数在指定点的极限不存在。
1y?limy y?sin0?0,limy??0?0,lim ⑵ 因为xlim??x?0x?0?0?x?0?3y?0 所以 函数在指定点的极限limx?036 .
lim1111x?3lim???x?3x?3limx?lim33?36x?3x?3
x?3x?311?lim?lim?x?32x?3?x?3??x?3?x?3x?36 37 . x?9lim38 . limx?0(1?x?1)(1?x?1)1?x?1?x?11?lim?lim?lim?? x?0x?0x2x(1?x?1)x(1?x?1)x?01?x?13211?3xx 39 . lim2x3?x?1?limx??x??11x?x?11?2?3xx11lim2?lim?lim3x??x??xx??x2?0?0 ???2
111?0?0lim1?lim2?lim3x??x??xx??x211?2?32?x?1xxx 40. lim2x?limx??x3?x?1x??111?2?3xx1112lim?lim2?lim3x??xx??xx??x0?0?0 ???0
111?0?0lim1?lim2?lim3x??x??xx??xsin3xsin3x?lim?3?3 41. limx?0x?0x3x2?xx??2sin2sin??1?cosx2?1?lim2??1 ?lim42. limx?0x?0x2?x?0x?2x24()2??22??21lim(1?)nn??n?e?e 43. =
11lim(1?)3n??n??1?n???1?n?44. ?lim??1?????lim?1????e2
n??n??????n?????n???22