??1?1??45. ?lim??x?????kx?kx???1?1??????limx???????kx??11kkx1???ek ??1k?x??1??46. ?lim??1???x??????x????x??1????lim?1???x???x???????1?e?1
?k47. ?? ??lim1?kx?e??x?0??1kxk48.解?limf(x)?limx?x0x?0sinx?1x
而f(x0)?f(0)?1?limf(x)?f(0)x?0函数在x?0处连续。49. 间断，函数在x＝1处无定义且左右极限不存在，第二类间断点 50. 间断，函数在x＝0处左右极限不存在，第二类间断点
f(x)?0但f(0)＝1，两者不相等，第一类间断点 51. 间断，limx?052. 证明：?x0∈(－∞,＋∞)
limf(x)?limx2?(limx)2?x0，f(x0)=x02 因为 x?xx?xx?x0002limf(x)?f(x0) 所以 x?x0因此，函数f(x)＝x是连续函数。
2
53. 解:54. 解:ln(1?x)lim?limln(1?x)x?lnlim(1?x)x?lne?1 x?0x?0x?0x?x2?1??lim??lnx??lim??x?1?lnx??2?0?0 ?x?1?x?1?x?11155 . 证明：设f(x)＝2x3－3x2＋2x－3，
则f(x)在[1,2]上连续，f(1)＝－2<0，f(2)＝5>0 根据零点定理，必存在一点ξ∈(1,2)使f(ξ)＝0，
则x＝ξ就是方程的根。
56.
x?1x2tanx(1?cosx)12原式?lim ?lim?x?0x?0(2x)38x316
57. 证 ?x?(-∞, +∞)，任给x一个增量Δx，对应的有函数y的增量
Δy = sin(x+Δx)-sin x = 2sin?x?cos(x??x).
22∵ 0??y?2sin?x?2?2?x，再由x的任意性知正??x，由夹逼准则知，△y → 0（Δx→0）
2弦函数y = sin x 在其定义域 (-∞, +∞)上处处连续，即它是连续函数。
58. 解 注意f (x)是分段函数，且点x?0两侧f表达式不一致。
(?x)?0， 解法1 ∵f (0 - 0) =lim?x?0x?0， ∴ limf(x)?0. f (0 + 0) =xlim?0?x?0又f (0 ) = 0， ∴ 函数f (x) = ?x?在点x = 0处连续（图1—19）。
解法2 ∵limf(x)?lim(?x)?0?f(0)， ∴ 函数在点x?0左连续； ??x?0x?0f(x)?limx?0?f(0)， ∴ 函数在点x?0右连续，所以函数在点x?0连续。又∵ xlim ?0?x?0?59. 证 虽然f是分段函数，但点x = 0两侧函数表达式一致。
M?0limf(x)?limxsin1?∵ xx??0?f(0)， ?x?00∴ f(x)在点x = 0处连续
60. 解 令a x–1 = t，则x = log a (1+t) ，当x→0时，t→0,
∴ 原式?lim?t1t1?lim??lna. 10loga(t?1)t?0logeatloga(t?1)ex?1?1，这表明x→0时，x ? ex - 1. 特别地，limx?0x
高等数学第一章函数与极限试题
