第1讲 等差数列与等比数列
[考情考向分析] 1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求和及数列与函数、不等式的综合问题是高考考查的重点，考查分析问题、解决问题的综合能力．
热点一 等差数列、等比数列的运算 1．通项公式
等差数列：an＝a1＋(n－1)d； 等比数列：an＝a1·q2．求和公式 等差数列：Sn＝
n－1
.
n?a1＋an?
2
＝na1＋
n?n－1?
d；
2
a1?1－qn?a1－anq等比数列：Sn＝＝(q≠1)．
1－q1－q3．性质 若m＋n＝p＋q，
在等差数列中am＋an＝ap＋aq； 在等比数列中am·an＝ap·aq.
例1 (1)(2018·北京)设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为______． 答案 an＝6n－3(n∈N)
解析 方法一 设公差为d.∵a2＋a5＝36，∴(a1＋d)＋(a1＋4d)＝36，∴2a1＋5d＝36.∵a1＝3，∴d＝6，∴通项公式an＝a1＋(n－1)d＝6n－3(n∈N)． 方法二 设公差为d，∵a2＋a5＝a1＋a6＝36，a1＝3， ∴a6＝33，∴d＝
*
*
a6－a1
5
＝6.∵a1＝3，∴通项公式an＝6n－3(n∈N)．
2
*
(2)(2018·华大新高考联盟质检)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3a11＝2a5，且S4＋S12＝λS8，则λ＝________. 8
答案 3
1
解析 ∵a3a11＝2a5，∴a7＝2a5，∴q＝2， ∵S4＋S12＝λS8，
2224
a1?1－q4?a1?1－q12?λa1?1－q8?∴＋＝，
1－q1－q1－q1－q＋1－q＝λ(1－q)， 84
将q＝2代入计算可得λ＝. 3
思维升华 在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间的联系不明显，则均可化成关于a1和d(q)的方程组求解，但要注意消元法及整体计算，以减少计算量．
跟踪演练1 (1)设公比为q(q>0)的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3a2＋2，S4＝3a4＋2，则a1等于( ) 12
A．－2 B．－1 C. D.
23答案 B
解析 S4－S2＝a3＋a4＝3a4－3a2，
即3a2＋a3－2a4＝0，即3a2＋a2q－2a2q＝0， 32
即2q－q－3＝0，解得q＝－1(舍)或q＝，
23
当q＝时，代入S2＝3a2＋2，
2得a1＋a1q＝3a1q＋2，解得a1＝－1.
(2)(2018·全国Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. ①求{an}的通项公式；
②记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m. 解 ①设{an}的公比为q，由题设得an＝q4
2
2
4
12
8
n－1
.
由已知得q＝4q，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)
n－1
或an＝2
n－1
(n∈N)．
n*
②若an＝(－2)
n－1
1－?－2?
，则Sn＝. 3
m由Sm＝63得(－2)＝－188，此方程没有正整数解． 若an＝2
n－1
，则Sn＝2－1.
mn由Sm＝63得2＝64，解得m＝6. 综上，m＝6.
热点二 等差数列、等比数列的判定与证明
2
证明数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法 (1)证明数列{an}是等差数列的两种基本方法： ①利用定义，证明an＋1－an(n∈N)为一常数；
②利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N)． (2)证明数列{an}是等比数列的两种基本方法： ①利用定义，证明
*
*
an＋1*
(n∈N)为一常数； an2
*
②利用等比中项，即证明an＝an－1an＋1(n≥2，n∈N)．
11
例2 已知数列{an}，{bn}，其中a1＝3，b1＝－1，且满足an＝(3an－1－bn－1)，bn＝－(an－1
22－3bn－1)，n∈N，n≥2.
(1)求证：数列{an－bn}为等比数列；
?2?
?的前n项和Tn. (2)求数列?
?anan＋1?
n*
1?1?(1)证明 an－bn＝(3an－1－bn－1)－?－?(an－1－3bn－1)＝2(an－1－bn－1)， 2?2?又a1－b1＝3－(－1)＝4，
所以{an－bn}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)解 由(1)知，an－bn＝2
n＋1
，①
1?1?又an＋bn＝(3an－1－bn－1)＋?－?(an－1－3bn－1)＝an－1＋bn－1，
2?2?又a1＋b1＝3＋(－1)＝2，
所以{an＋bn}为常数数列，an＋bn＝2，② 联立①②得，an＝2＋1，
211＝n＝－， anan＋1?2＋1??2n＋1＋1?2n＋12n＋1＋1所以Tn＝?＝
1
n2
nn?11－21?＋?21－31?＋…＋?n1－n＋1?
1??????2＋12＋1??2＋12＋1??2＋12＋1?
1111*
－n＋1＝－n＋1(n∈N)． 2＋12＋132＋1
思维升华 (1)判断一个数列是等差(比)数列，也可以利用通项公式及前n项和公式，但不能作为证明方法．
(2)an＝an－1an＋1(n≥2)是数列{an}为等比数列的必要不充分条件，判断时还要看各项是否为零．
跟踪演练2 (2018·新余模拟)已知{an}是各项都为正数的数列，其前n项和为Sn，且Sn为
3
2
an与的等差中项．
an(1)求证：数列{Sn}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式；
?－1?
(3)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.
n2
1
an12
(1)证明 由题意知2Sn＝an＋，即2Snan－an＝1，(*)
an当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1，代入(*)式得 2Sn(Sn－Sn－1)－(Sn－Sn－1)＝1， 整理得Sn－Sn－1＝1(n≥2)．
又当n＝1时，由(*)式可得a1＝S1＝1， ∴数列{Sn}是首项为1，公差为1的等差数列． (2)解 由(1)可得Sn＝1＋n－1＝n， ∵数列{an}的各项都为正数， ∴Sn＝n，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n－n－1， 又a1＝S1＝1满足上式， ∴an＝n－n－1(n∈N)． ?－1?
(3)解 由(2)得bn＝＝n*
2
22
2
2
?－1?
nann－n－1
＝(－1)(n＋n－1)， 当n为奇数时，
nTn＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…＋(n－1＋n－2)－(n＋n－1)＝－n，
当n为偶数时，
Tn＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…－(n－1＋n－2)＋(n＋n－1)＝n，
∴数列{bn}的前n项和Tn＝(－1)
nn(n∈N*)．
热点三 等差数列、等比数列的综合问题
解决等差数列、等比数列的综合问题，要从两个数列的特征入手，理清它们的关系；数列与不等式、函数、方程的交汇问题，可以结合数列的单调性、最值求解． 例3 已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6. (1)求数列{an}的通项公式an与其前n项和Sn；
4
(2)将数列{an}的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{bn}的前3项，记{bn}的前n项和为Tn，若存在m∈N，使得对任意n∈N，总有Sn 解 (1)由a2＋a7＋a12＝－6，得a7＝－2，∴a1＝4， ∴an＝5－n，从而Sn＝ * * n?9－n? 2 (n∈N)． * (2)由题意知b1＝4，b2＝2，b3＝1， 设等比数列{bn}的公比为q， b21则q＝＝， b12 ??1?m?4?1－??? ??2????1?m?∴Tm＝＝8?1－???， 1??2??1－2?1?m∵??随m的增加而减少， ?2? ∴{Tm}为递增数列，得4≤Tm<8. 又Sn＝ n?9－n? 212 ＝－(n－9n) 2 1??9?281?＝－??n－?－?， 2??2?4?故(Sn)max＝S4＝S5＝10， 若存在m∈N，使得对任意n∈N，总有Sn 即实数λ的取值范围为(2，＋∞)． 思维升华 (1)等差数列与等比数列交汇的问题，常用“基本量法”求解，但有时灵活地运用性质，可使运算简便． (2)数列的项或前n项和可以看作关于n的函数，然后利用函数的性质求解数列问题． (3)数列中的恒成立问题可以通过分离参数，通过求数列的值域求解． 跟踪演练3 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn－1＝3(an－1)，n∈N. (1)求数列{an}的通项公式； * * * ?3?(2)设数列{bn}满足an＋1＝???2?围． an?bn，若bn≤t对于任意正整数n都成立，求实数t的取值范 5
全国通用版高考数学二轮复习专题二数列第1讲等差数列与等比数列学案文
