三角函数的图象与性质
基础梳理
1．“五点法”描图
(1)y＝sin x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
?π? (0,0) ?，1? (π，0) ?2??3π，－1? (2π，0)
?2???
(2)y＝cos x的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
?π??3π? (0,1)，?，0?，(π，－1)，?，0?，(2π，1)
?2??2?
2.三角函数的图象和性质
函数 性质 y＝sin x y＝cos x y＝tan x π{x|x≠kπ＋，2定义域 R R k∈Z} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] 对称轴： R 对称轴：__ x＝kπ＋π(k∈Z)__ _； 2对称中心： _ (kπ，0)(k∈Z)__ _ 周期 2π_ 单调增区间_[2kπ－π2，2kπ＋ x＝kπ(k∈Z)___； 对称中心： π_(kπ＋，0) 2(k∈Z)__ 2π 单调增区间[2kπ－对称性 对称中心：_?(k∈Z) __ ?kπ，0? ??2?π π，2kπ] (k∈Z) 单调增区间_(kπ－____； 单调减区间[2kπ，2kππ](k∈Z)______ ＋π，kπ＋2π)(k∈Z)___ 2单调性 π](k∈Z)___； 2单调减区间[2kπ＋π3π ，2kπ＋] 22(k∈Z) __ 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 3.一般地对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 对函数周期性概念的理解
周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x值都满足f(x＋T)＝f(x)，其中T是不为零的常数.如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，或找到哪怕只有一个x值不满足f(x＋T)＝f(x)，都不能说T是函数f(x)的周期.
2π
函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 ，
|ω|
y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为
π
. |ω|
4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性
由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界. (2)形式复杂的函数应化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.
(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y＝sinx－4sin x＋5，令t＝sin
2
x(|t|≤1)，则y＝(t－2)2＋1≥1，解法错误.
5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y＝Asin(ωx＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x系数的正负π???π?号) (1)y＝sin?2x－?；(2)y＝sin?－2x?.
4???4?热身练习:
?π?1．函数y＝cos?x＋?，x∈R( )． 3??
A．是奇函数 B．既不是奇函数也不是偶函数
C．是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
2．函数y＝tan?
?π－x?的定义域为( )．
??4?
???π
A.?x?x≠kπ－4???
???π
C.?x?x≠kπ＋4???
??
，k∈Z?
?????π
B.?x?x≠2kπ－，k∈Z
4???
??
? ??
?????π
，k∈Z? D.?x?x≠2kπ＋
4?????
??
，k∈Z?
??
π
3．函数y＝sin(2x＋)的图象的对称轴方程可能是( )
3
ππππ
A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝ 612612
ππkππ
【解析】令2x＋＝kπ＋，则x＝＋(k∈Z)
32212π
∴当k＝0时，x＝，选D.
12
?π?4．y＝sin?x－?的图象的一个对称中心是( )．
4??A．(－π，0)
?3π??3π?B.?－，0? C.?，0?
?4??2?
D.?
?π，0?
??2?
ππ
解析 ∵y＝sin x的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，∴令x－＝kπ(k∈Z)，x＝kπ＋(k∈
443?π??3π?Z)，由k＝－1，x＝－π得y＝sin?x－?的一个对称中心是?－，0?.
4?4??4?答案 B
5．下列区间是函数y＝2|cos x|的单调递减区间的是
( )
?π?A.(0，π) B.?－，0?
?2?
C.?
?3π，2π?
?
?2?π??D.?－π，－?
2??
π
6．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f()|对任意x∈R恒成立，
6
π
且f()>f(π)，则f(x)的单调递增区间是( )
2
πππ
A．[kπ－，kπ＋](k∈Z) B．[kπ，kπ＋](k∈Z)
362π2ππ
C．[kπ＋，kπ＋](k∈Z) D．[kπ－，kπ](k∈Z)
632
πππ
【解析】当x∈R时，f(x)≤|f()|恒成立，∴f()＝sin(＋φ)＝±1
663
π5π
可得φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－，k∈Z
66
π
∵f()＝sin(π＋φ)＝－sinφ>f(π)＝sin(2π＋φ)＝sinφ
2
5π
∴sinφ<0 ∴φ＝2kπ－
6
π5πππ2π
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ 得x∈[kπ＋，kπ＋](k∈Z)，选C.
26263
?xπ?7.函数f(x)＝3cos?－?x∈R的最小正周期为___4π_____． ?24?
3?π?8..y＝2－3cos?x＋?的最大值为___5_____，此时x＝_____π＋2kπ，k∈Z _________.
4?4?9．函数y＝(sinx－a)＋1，当sinx＝1时，y取最大值；当sinx＝a时，y取最小值，则实
数
－1≤a≤0.
ππ2
10．函数f(x)＝sinx＋3sinxcosx在区间[，]上的最大值是 .
421－cos2x3311
【解析】∵f(x)＝＋sin2x＝sin2x－cos2x＋
22222
π1
＝sin(2x－)＋，
62
ππππ5ππππ3又≤x≤，∴≤2x－≤. ∴当2x－＝即x＝时，f(x)取最大值. 423666232
题型一 与三角函数有关的函数定义域问题 例1 求下列函数的定义域：
(1)y＝lgsin(cos x)； (2)y＝sin x－cos x.
解 (1)要使函数有意义，必须使sin(cos x)>0. ∵－1≤cos x≤1，∴0
利用单位圆中的余弦线OM，依题意知0
ππ
∴其定义域为 {x|－＋2kπ
22(2)要使函数有意义，必须使sin x－cos x≥0.
利用图象.在同一坐标系中画出[0,2π]上y＝sin x和y＝cos x的图象，如图所示. π5π
在[0,2π]内，满足sin x＝cos x的x为，，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，
44
?π?5π
所以定义域为?x|＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z?.
4?4?
2
变式训练1 (1)求函数y?lg(2sinx?1)??tanx?1的定义域；
x?cos(?)28解 (1)要使函数有意义，则
??－tan x－1≥0?xπ
??cos?＋?≠0???28?
2sin x－1>0
????tan x≤－1，
xππ＋≠kπ＋.??282
1sin x>，
2
图①
如图①利用单位圆得：
??π
3π
kπ＋
3π?x≠2kπ＋k∈Z.?4
k∈Z}.
(2)求函数y?2π5π
2kπ＋
66
∴函数的定义域为{x|2kπ＋
π3π
2?log1x?tanx的定义域.
要使函数有意义
?
?x>0，则?tan x≥0，
π?x≠kπ＋，k∈Z?2
利用数轴可得图②
1
2＋logx≥0，
2
0
kπ≤x
图②
π
∴函数的定义域是{x|0
2
题型二、三角函数的五点法作图及图象变换
π
例2已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋)－1.
6
(1)用五点法作出f(x)在一个周期内的简图；
(2)该函数图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移变换与伸缩变换得到？
π
【解析】(1)y＝f(x)＝4cosxsin(x＋)－1
6312
sinx＋cosx)－1＝3sin2x＋2cosx－1 22
π
＝3sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)
6＝4cosx(
高三数学一轮复习讲义三角函数的图像与性质教案新人教A版
