高考数学总复习 基础知识名师讲义 - 图文

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2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第六章 第一节不等关系与不等

式 文

近三年广东高考中对本章考点考查的情况

年份 题号 4 赋分 5 所考查的知识点 求函数定义域 求一元二次不等式的解集 证明四点共面，证明线面垂直 线性规划的最大值问题 5 5 2011 18 14 6 5 20(2) 8 以数列为背景的不等式证明 (续上表)

5 11 2012 18(1) 21(1) 2013 2 13 19(3) 20(3) 6 6 5 5 6 6 线面垂直的证明 一元二次不等式的解集 求函数的定义域 线性规划、目标函数的最大值 以数列为背景的不等式证明 求二次函数的最值 5 5 线性规划的最小值问题 求函数定义域 21(3) 6 三次函数在指定区间上的最值 本章内容主要包括两个内容：不等式、推理与证明． 不等式主要包括：不等式的基本性质、一元二次不等式的解法、基本不等式的应用、简单的线性规划问题、不等式简单应用． 推理与证明主要包括：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明，其中合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及，该部分命题的方向主要会在函数、三角、数列、立体几何、解析几何等方面，在新的高考中都会涉及和渗透，但单独出题的可能性较小． 广东高考在这一章的命题上呈现以下特点： 1．考查题型以选择题、填空题为主，偶以解答题形式出现，但多数是解答题中的一部分，如与数列、函数、解析几何等结合考查，分值约占10%左右，既有中、低档题，也会有高档题出现． 2．重点考查不等式解法、不等式应用、线性规划以及不等式与其他知识的结合，另在推理与证明中将会重点考查． 3．对合情推理与演绎推理及证明方法的考查，主要放在解答题中，注重知识交汇处的命题． 预计高考中对本章内容的考查仍将以不等式的解法、基本不等式应用、线性规划为重点，将推理与证明和其他知识相融合，更加注重应用与能力的考查． 本章内容理论性强，知识覆盖面广，因此在复习过程中应注意： 1．复习不等式的性质时，要克服“想当然”和“显然成立”的思维定势，要以比较准则和实数的运算法则为依据． 2．不等式的证明方法除比较法、分析法、综合法外，还有反证法、换元法、判别式法、构造法、几何法，这些方法可作适当了解，但要控制量和度． 3．解(证)某些不等式时，要把函数的定义域、值域和单调性结合起来． 4.注意重要不等式和常用思想方法在解题、证题中的作用． 在复习不等式的解法时，加强等价转化思想的训练与复习．解不等式的过程是一个等价转化的过程，通过等价转化可简化不等式(组)，以快速、准确求解． 加强分类讨论思想的复习．在解不等式或证不等式的过程中，如含参数等问题，一般要对参数进行分类讨论．复习时，学生要学会分析引起分类讨论的原因，合理地分类，做到不重不漏． 加强函数与方程思想在不等式中的应用训练．不等式、函数、方程三者密不可分，相互联系、互相转化．如求参数的取值范围问题，函数与方程思想是解决这类问题的重要方法． 在不等式的证明中，加强化归思想的复习，证不等式的过程是一个已知条件向要证结论转化的过程，既可考查学生的基础知识，又可考查学生分析问题和解决问题的能力，正因为证不等式是高考考查学生代数推理能力的重要素材，复习时应引起我们的足够重视． 5．强化不等式的应用． 高考中除单独考查不等式的试题外，常在一些函数、数列、立体几何、解析几何和实际应用问题的试题中涉及不等式的知识，加强不等式应用能力，是提高解综合题能力的关键．因此，在复习时应加强这方面的训练，提高应用意识，总结不等式的应用规律，才能提高解决问题的能力． 如在实际问题应用中，主要有构造不等式求解或构造函数求函数的最值等方法，求最值时要注意等号成立的条件，避免不必要的错误． 6．利用平均值定理解决问题时，要注意满足定理成立的三个条件：“一正、二定、三相等”． 7．要强化不等式的应用意识，同时要注意到不等式与函数、方程的区别与联系． 对于类比型问题可以说是创新要求的体现，最常见的是二维问题与三维问题的类比，同结构问题的类比(比如圆锥曲线内的类比问题、数列内的类比问题等)，较少对照不同结构的类比问题．关于归纳、猜想、证明是考得比较多、比较成熟的题型了，在复习备考中要把握考试的特点，注重落实． 归纳、演绎和类比推理在数学思维中所占的分量非常重，事实上，在高考中归纳、猜想、证明以及类比、证明这一类题目是常考常新的． 推理与证明问题综合了函数、方程、不等式、解析几何与立体几何等多个知识点，需要采用多种数学方法才能解决问题，如：函数与方程思想、化归思想、分类讨论思想等，对学生的知识与能力要求较高，是对学生思维品质和逻辑推理能力、表述能力的全面考查，可以弥补选择题与填空题等客观题的不足，是提高区分度、增强选拔功能的重要题型，因此在最近几年的高考试题中，推理与证明问题正在成为一个热点题型，并且经常作为压轴题出现． 第一节 不等关系与不等式 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式?组?的实际背景. 知识梳理 一、不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“<”，“>”，“≤”，“≥”，“≠”连接两个数式或代数式以表示它们之间的不等的关系的式子，叫做不等式． 二、实数运算性质与大小顺序关系 1．a>b?a－b>0.2.a＝b?a－b＝0.3.ab?bb，b>c?a>c. 3．定理3(同加性)：a>b，c为整式或实数?a＋c>b＋c. a>b???a＋c>b＋d. 4．定理3推论(叠加性)：c>d? 5．定理4(可乘性)： a>b?a>b???ac>bc；??ac0?c<0? 6．定理4推论1(叠乘性)： a>b>0???ac>bd. c>d>0?7．定理4推论2(可乘方性)：a>b>0?an>bn(n∈N*且n>1)． nn8．定理5(可开方性)：a>b>0?a＞b(n∈N*且n>1)． 四、不等式性质成立的条件 1111例如，重要结论：a＞b，ab＞0?＜，不能弱化条件得a＞b?＜. abab五、正确处理带等号的情况 如由a＞b，b≥c或a≥b，b＞c均可得出a＞c；而由a≥b，b≥c可能有a＞c，也可能有a≥c，当且仅当a＝b且b＝c时，才会有a＝c. 注意：不等式的性质从形式上可分两类：一类是“?”型；另一类是“?”型．要注意二者的区别． 基础自测 1．已知a＜0，b＜－1，则下列不等式成立的是( ) aaA．a＞＞2 bbaaB.2＞＞a bbaaC.＞2＞a bbaaD.＞a＞2 bbaa解析：特殊值法，取a＝－1，b＝－2，验证知＞2＞a成立．也可用作差比较法． bb答案：C 2．(2012·广东两校联考)若01－log24＝－1； 3331log2b－(log2a＋log2b＋1)＝－1－log2＝－1＋log23>0； 3计算可知，b>a3＋a2b＋ab2＋b3， ∴log2b>log2(a3＋a2b＋ab2＋b3)．故选B. 答案：B 3．已知a，b∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是________． 1?a?1?b a①＞1 ②a2＞b2 ③lg(a－b)＞0 ④??2?＜?2?baa解析：令a＝2，b＝－1，则a＞b，＝－2，故＞1不成立；令a＝1，b＝－2，则a2＝1，b2＝4，故a2bb1?x?1?＞b2不成立；当a－b在区间(0,1)内时，lg(a－b)＜0；f(x)＝?在R上是减函数，∵a＞b，∴f(a)＜f(b)，即?2??2?1?ba＜??2?.故④正确． 答案：④ bab＋ma＋n4．a>b>0，m>0，n>0，则，，，由大到小的顺序是____________． aba＋mb＋nb＋m2a＋n3aa＋nb＋mbb1a解析：取特殊值．如a＝2，b＝1，m＝n＝1，则＝，＝2，＝，＝.∴>>>. a2ba＋m3b＋n2bb＋na＋maaa＋nb＋mb答案：>>> bb＋na＋ma1．(2013·北京卷)设a，b，c∈R，且a>b，则( ) A．ac>bc C．a2>b2 11B.< ab D．a3>b3 11解析：当a>b时，a3>b3成立．A项中对c＝0不成立．B项取a＝1，b＝－1，则<不成立；C项取a＝1，abb＝－2，则a2>b2不成立． 答案：D 12．(2012·大纲全国卷)已知x＝ln π，y＝log52，z＝e－，则( ) 2A．xln e＝1，y=log52＝，＜1.综上可得，y＜z＜x.故选D. 22e42e答案：D 1．(2013·江门一模)若x＞0，y＞0，则x＋y＞1是x2＋y2＞1的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：先看充分性， 2可取x＝y＝，使x＋y＞1成立，而x2＋y2＞1不能成立，故充分性不能成立； 3若x2＋y2＞1，因为x＞0，y＞0， 所以(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＞x2＋y2＞1， ∴x＋y＞1成立，故必要性成立． 综上所述，x＋y＞1是x2＋y2＞1的必要不充分条件． 答案：B 2．(2013·北京西城区期末)已知a>b>0，给出下列四个不等式： ①a2>b2 ②2a>2b1 ③a－b>a－b －④a3＋b3>2a2b. 其中一定成立的不等式为________． 解析：由a>b>0可得a2>b2，①成立； 由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数；∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b1，②成立； －∵a>b>0，∴a>b， ∴(a－b)2－(a－b)2＝2ab－2b＝2b(a－b)>0， ∴a－b>a－b，③成立； 若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，a3＋b3<2a2b，④不成立． 答案：①②③