第六节 n次独立重复试验与二项分布
[最新考纲] 1.了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单问题．
1．条件概率
条件概率的定义 设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝条件概率的性质 (1)0≤P(B|A)≤1； (2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) PAB为在事件A发生的条件下，事件BPA发生的条件概率 2.事件的相互独立性 (1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立．
(2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)． ②如果事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也相互独立． 3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验
在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai(i＝1,2，…，n)是第i次试验结果，则
P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)．
(2)二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cnp(1－p)
kkn－k(k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记作
X～B(n，p)，并称p为成功概率．
[常用结论]
牢记且理解事件中常见词语的含义 (1)A，B中至少有一个发生的事件为A∪B； (2)A，B都发生的事件为AB； (3)A，B都不发生的事件为AB；
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(4)A，B恰有一个发生的事件为AB∪AB； (5)A，B至多一个发生的事件为AB∪AB∪AB.
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相互独立事件就是互斥事件．
( )
(2)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)． ( ) (3)公式P(AB)＝P(A)P(B)对任意两个事件都成立． ( ) (4)二项分布是一个概率分布列，是一个用公式P(X＝k)＝Cnp(1－p)
kkn－k，k＝0,1,2，…，
n表示的概率分布列，它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布．
[答案](1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、教材改编
2
1．如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为，那么播下5粒这样的种子，恰有2
3粒不发芽的概率是( )
A.
8080163163 B. C. D. 24381243729
2
( )
?2??2?3?2?803
A [用X表示发芽的粒数，则X～B?5，?，则P(X＝3)＝C5×??×?1－?＝，故播?3??3??3?243
80
下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率为.]
243
23
2．两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为和，两个零件中能否被34加工成一等品相互独立，则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为( )
1A. 21C. 4
B.5 12
1D. 6
23
B [因为两人加工成一等品的概率分别为和，且相互独立，所以两个零件中恰好有一3421135
个一等品的概率P＝×＋×＝.]
343412
3．在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，则在第1次抽到文科题的条件下，第2次抽到理科题的概率为( )
1A. 2
2B. 5
- 2 -
3C. 53D. 4
D [根据题意，在第1次抽到文科题后，还剩4道题，其中有3道理科题；则第2次抽3
到理科题的概率P＝，故选D.]
4
4．一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机抽取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品的件数，则X服从二项分布，记作 ．
X～B(100,0.02) [根据题意，X～B(100,0.02)．]
考点1 条件概率
求条件概率的2种方法
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝
PAB，这是求条件概率的通法．
PA(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝
nAB.
nA 1.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，
事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )
1121
A. B. C. D. 8452
C3＋C242C21
B [法一(直接法)：P(A)＝2＝＝，P(AB)＝2＝.由条件概率计算公式，
C5105C510
1
101PAB得P(B|A)＝＝＝.
PA24
5
法二(缩小样本空间法)：事件A包括的基本事件：(1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)
共4个．
事件AB发生的结果只有(2,4)一种情形，即n(AB)＝1. 故由古典概型概率P(B|A)＝
2
2
2
nAB1
＝.]
nA4
2．(2024·运城模拟)有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为 ．
0.72 [设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽，又成活为幼苗)．出芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9，根据条件概率公式得P(AB)＝
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2024版高考数学一轮复习 第十章 计数原理、概率、随机
