? ? ? ? ?
Source SS df MS F Prob>F
----------------------------------------------- Groups 440.45 2 220.225 2.78 0.1146 Error 712.47 9 79.163 Total 1152.92 11
group =
1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 p =
0.1146
table =
'Source' 'SS' 'df' 'MS' 'F' 'Prob>F' 'Groups' [ 440.4500] [ 2] [220.2250] [2.7819] [0.1146] 'Error' [ 712.4667] [ 9] [ 79.1630] [] [] 'Total' [1.1529e+03] [11] [] [] []
3.1.3双因素等重复试验的方差分析
6
设火箭的射程在其它条件基本相同时与燃料种类及推进器型号有关。现在考虑4种不同的燃料及3种不同型号的推进器，对于每种搭配个发射了火箭两次，得数据见表3。问各自变量和自变量的交互效应是否对火箭的射程有显著影响？
推进器1 推进器2 推进器3 燃料1 58.2 52.6 56.2 41.2 65.3 60.8 燃料2 49.1 42.8 54.1 50.5 51.6 48.4 燃料3 60.1 58.3 70.9 73.2 39.2 40.7 燃料4 75.8 71.5 58.2 51.0 48.7 41.4 解：需要计算出推进器1燃料1的均值方差，推进器1燃料2的均值方差，…，推进器4燃料4的均值方差，，算出燃料和推进器之间交互的有无显著性的p，若p大则说明有显著性差异，反之则没有 在MATLAB中输入数据
disp2=[58.2 52.6 49.1 42.8 60.1 58.3 75.8 71.5;56.2 41.2 54.1 50.5 70.9 73.2 58.2 51.0;65.3 60.8 51.6 48.4 39.2 40.7 48.7 41.4];
p=anova2(disp2,1) 输出数据
? ? ? ? ? ?
Source SS df MS F Prob>F
------------------------------------------------ Columns 454.85 7 64.979 0.5 0.8182 Rows 370.98 2 185.49 1.43 0.2716 Error 1812.47 14 129.462 Total 2638.3 23
p = 0.8182 0.2716
2个p大于0.05，说明不同燃料和不同喷射器之间的交互效应有显著性差异
3.1.4双因素无重复试验的方差分析
设火箭的射程在其它条件基本相同时与燃料种类及推进器型号有关。现在考虑4种不同的燃料及3种不同型号的推进器，对于每种搭配个发射了火箭1次，得数据见表3。问各自变量和自变量的交互效应是否对火箭的射程有显著影响？
推进器1 推进器2 推进器3
燃料1 52.6 41.2 60.8 燃料2 42.8 50.5 48.4 燃料3 58.3 73.2 40.7 燃料4 71.5 51.0 41.4
解：需要计算出推进器1，燃料1的方差，推进器2，燃料2的方差，进器3，燃料3的方差，推进器4，燃料4的方差，，算出燃料和推进器之间交互的有无显著性的p，若p大则说明有显著性差异，反之则没有 在MATLAB中输入数据
disp2=[52.6 49.1 58.3 71.5;41.2 50.5 73.2 51.0;60.8 48.4 40.7 41.4]; p=anova2(disp2,1) 输出数据
Source SS df MS F Prob>F
? ------------------------------------------------ ? Columns 112.26 3 37.421 0.23 0.875 ? Rows 205.38 2 102.69 0.62 0.5689
?
7
Error 992.84 6 165.473 ? Total 1310.48 11
?
p =0.8750 0.5689
2个p大于0.05，说明不同燃料和不同喷射器之间的交互效应有显著性差异
3.1.5同时编程直接计算方差分析表
设火箭的射程在其它条件基本相同时与燃料种类及推进器型号有关。现在考虑4种不同的燃料及2种不同型号的推进器，对于每种搭配个发射了火箭1次，得数据见表3。问各自变量和自变量的交互效应是否对火箭的射程有显著影响？
推进器1 推进器2
燃料1 52.6 41.2 燃料2 42.8 50.5 燃料3 58.3 73.2 燃料4 71.5 51.0
解：需要计算出推进器1，燃料1的方差，推进器2，燃料2的均值方差，进器3，推进器4的方差，算出燃料和推进器之间交互的有无显著性的p，若p大则说明有显著性差异，反之则没有 在MATLAB中输入数据
>> disp2=[52.6 49.1 58.3 71.5;41.2 50.5 73.2 51.0]; p=anova2(disp2,1) 输出数据
? ? ? ? ? ?
Source SS df MS F Prob>F
------------------------------------------------ Columns 487.705 3 162.568 1.37 0.4016 Rows 30.42 1 30.42 0.26 0.6478 Error 356.67 3 118.89 Total 874.795 7
p =0.8750 0.5689
2个p大于0.05，说明不同燃料和不同喷射器之间的交互效应有显著性差异
3.2实验原理及实验步骤
数据的误差用离差平方和描述。组内离差平方和表示因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的变异
kn比如，同一奖金水平下失业时间的差异总变差：SST=??(xi?1j?1ij?x..)2
组内离差平方和只包含随机误差
8
组间离差平方和：SSA=n?(xi?1kij?x..)2
因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的变异
kn组内离差平方和：SSE=??(xi?1j?1ij?xi.)2
组内离差平方和既包括随机误差，也包括系统误差
knkn??(xi?1j?1knij?xi.)=SSE=??[(xij?x..)2?(xij?xi.)]2
2i?1j?1=
??[(xi?1j?1kij?x..)2?2(xi.?x..)(xij?xi.)?(xij?xi.)]2
=SSE=??[(xi?1j?1nij?x..)?2?(xi.?x..)?(xij?xi.)]???(xij?xi.)2
22i?1j?1i?1j?1knkn三个平方和的自由度分别是
SST 的自由度为nk-1，nk为全部观察值的个数 SSA的自由度为k-1，其中k为因素水平的个数 SSE 的自由度为nk-k
各离差平方和的大小与观察值的多少有关，为了消除观察值多少对离差平方和大小的影响，需要将其平均，这就是均方，也称为方差。
均方的计算方法是用离差平方和除以相应的自由度。
k组间离差平方和：SSA=n?(xi?1ij?x..) 组内离差平方和：SSE=??(xij?xi.)2
2kni?1j?1组间方差：MSA?SSASSE 组内方差MSE? k?1nk?k比值F=
组间方差MSA(nk?k)SSA =?组内方差MSE(k?1)SSE将k个水平（处理）的观测值作为一个整体看待，利用方差的可分解性，把观测值总变异的离差平方和
9
及自由度分解为相应于不同变异来源的离差平方和及自由度，进而获得不同变异来源总体方差估计值；通过计算这些总体方差估计值的适当比值，即F比值，并以此比值的大小来判断各样本所属总体平均数是否相等。目的是检查所讨论因素是否作为系统性因素来影响试验结果。
如果因素A的不同水平对结果没有影响，那么在组间方差中只包含有随机误差，两个方差的比值会接近1。
如果不同水平对结果有影响，组间方差就会大于组内方差，组间方差与组内方差的比值就会大于1。 当这个比值大到某种程度时，就可以说不同水平之间存在显著差异，或者说因素A对结果有显著影响。 交互作用即一个因素对因变量的影响程度受另一个因素的影响的情况。
实践经验表明，多数交互作用是不存在或者很小以至可以忽略不计的，一般我们主要考虑部分二级交互作用，但考察哪些二级交互作用由具体情况来决定。
双因素方差分析中因素A和B对结果的影响相互独立时称为无交互作用的双因素方差分析。
如果除了A和B对结果的单独影响外还存在交互作用，这时的双因素方差分析称为有交互作用的双因素方差分析 。
双因素方差分析中的基本假设是各个子总体都服从正态分布，有相同的方差，并且各个观测值之间相互独立（与单因素时相同）。
在无交互作用的双因素方差分析模型中因变量的取值受四个因素的影响：总体的平均值；因素A导致的差异；因素B导致的差异；以及误差项。写成模型的形式就是： Xij????i??i??ij，同时，该模型数据需要满足3个要求（1）可加性假定 Xij????i??i??ij
（2）约束条件
?ai?1ri?0,?bj?0
i?1r（3）独立性，正态性，方差齐性假定?ij?N(0,?),i?1,2,...,r;j?1,2,...,s 离差平方和的分解
rs2SST???(xij?x..)2
i?1j?1rs=
??[(xi?1j?1ij?x..)2?(xi.?x..)?(xij?xi.?x.j?x..)]2
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方差分析
