微专题十立体几何中探索性问题的研究
[追根溯源]
高考中的立体几何探索性试题，我们一般可以采用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决．
探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，这类试题的一般设问方式是“是否存在？存在给出证明，不存在说明理由”．解决这类试题，一般根据探索性问题的设问，首先假设其存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾就否定假设．
例题如图，在底面是菱形的四棱锥－中，∠＝°，＝＝，＝＝，点在上，且∶＝∶.
()证明：⊥平面；
()求以为棱，与为面的二面角的大小；
()问：在棱上是否存在一点，使∥平面.证明你的结论．
审题方法是线段上的点，一般可设＝λ，求出λ的值，点是已知的，即可求出点.
解题思路()证明的是线面垂直，只要努力去找直线与平面内的两条相交直线垂直即可；()按找二面角的方法进行；()通过建立恰当的直角坐标系，给出相应点的坐标，利用坐标关系和向量的相等就可以解决了．
()证明因为底面是菱形，∠＝°，所以＝＝＝，在△中，由＋＝＝，知⊥，同理⊥，所以⊥平面.
()解如图所示，作∥交于，由⊥平面，知⊥平面，作
⊥于，连接，则⊥，则∠为所求二面角的平面角，设为θ.又∶＝∶，
图
则＝，＝，＝°＝， 从而θ＝＝，所以θ＝°.
()解以为坐标原点，直线，分别为轴，轴，过点垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示．由题设条件，相关各点的坐标分别为(，，)，，，(，，)，(，，)，.
图
所以＝，＝(，，)， ＝，＝， ＝.
设是棱上的点，且＝λ ＝，其中<λ<，则 ＝＋ ＝＋ ＝.
令＝λ＋λ，得：
解得λ＝，λ＝－，
λ＝，即λ＝时，＝－＋，即是的中点时，，，共面．又不在平面内，所以当是棱的中点时，
∥平面. 例
题
追
根
溯
源
如图，在底面是菱形的四棱锥—中，∠＝°，＝＝，＝＝，点在上，且∶＝λ∶(λ∈*)．
()证明：⊥平面；
()在棱上是否存在一点，使∥平面.证明你的结论．
审题方法是线段上的点，一般可设＝，求出的值，点是已知的，即可求出点.
解题思路通过建立恰当的直角坐标系，给出相应点的坐标，令所求直线对应的向量用该平面内的两个不共线向量表示即可．
()证明因为底面是菱形，∠＝°，所以＝＝＝，在△中，由＋＝＝，知⊥，同理⊥，所以⊥平面.
()解方法一以为坐标原点，直线，分别为轴，轴，过点垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，由题设条件，相关各点的坐标分别为 (，，)，，，(，，)，(，，)，. 所以＝，＝(，，)， ＝，＝， ＝.
设是棱上的点，且＝＝，其中<<，则＝＋ ＝＋ ＝.
令＝λ＋λ，得
解得＝，λ＝－，λ＝(λ＋)(－)，
2024版高考数学新增分大一轮新高考微专题十 Word版含解析
