即实数m的值为1. 故答案为:1. 【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用,其中解答中熟记二次函数的图象与性质是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.
15.【解析】【分析】【详解】故答案为 解析:
【解析】 【分析】 【详解】
故答案为.
16.【解析】【分析】根据函数经过点求出幂函数的解析式利用反函数的求法即可求解【详解】因为点在幂函数的图象上所以解得所以幂函数的解析式为则所以原函数的反函数为故答案为:【点睛】本题主要考查了幂函数的解析式 解析:x2(x?0)
【解析】 【分析】
根据函数经过点(4,2)求出幂函数的解析式,利用反函数的求法,即可求解. 【详解】
因为点(4,2)在幂函数f?x??x(??R)的图象上,所以2?4?,解得???1, 2所以幂函数的解析式为y?x2,
1则x?y2,所以原函数的反函数为f?1(x)?x2(x?0). 故答案为:f?1(x)?x2(x?0) 【点睛】
本题主要考查了幂函数的解析式的求法,以及反函数的求法,其中熟记反函数的求法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.
17.【解析】若对任意的实数都有成立则函数在上为减函数∵函数故计算得出:点睛:已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点:(1)若函数在区间上单调则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;(2)分段
13????,解析:?? 8??【解析】
若对任意的实数x1?x2都有
f(x1)?f(x2)?0成立,
x1?x2则函数f(x)在R上为减函数,
?(a?2)x,x?2?x∵函数f(x)???1?,
????1,x?2??2??a?2?0?2故?, ?1?2(a?2)??1????2??计算得出:a????,??13??. 8?点睛:已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点:(1)若函数在区间[a,b]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;(2)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值;(3)复合函数的单调性,不仅要注意内外函数单调性对应关系,而且要注意内外函数对应自变量取值范围.
18.【解析】【分析】将函数转化为分段函数对参数分类讨论【详解】转化为分段函数:为更好说明问题不妨设:其对称轴为;其对称轴为①当时因为的对称轴显然不在则只需的对称轴位于该区间即解得:满足题意②当时此时函数 解析:??9,0???0,3?
【解析】 【分析】
将函数转化为分段函数,对参数a分类讨论. 【详解】
f?x??2x2??x?a?x?a,转化为分段函数:
?3x2?2ax?a2,x?af?x???2. 2?x?2ax?a,x?a为更好说明问题,不妨设:
h?x??3x2?2ax?a2,其对称轴为x?a; 3g?x??x2?2ax?a2,其对称轴为x??a.
①当a?0时, 因为h?x?的对称轴x?a显然不在??3,0?,则 3只需g?x?的对称轴位于该区间,即?a???3,0?, 解得:a??0,3?,满足题意. ②当a?0时,
?3x2,x?0f?x???2,此时
x,x?0?函数在区间??3,0?是单调函数,不满足题意. ③当a?0时,
因为g?x?的对称轴x??a显然不在??3,0? 只需h?x?的对称轴位于该区间即可,即解得:a???9,0?,满足题意. 综上所述:a???9,0???0,3?. 故答案为:??9,0???0,3?. 【点睛】
本题考查分段函数的单调性,难点在于对参数a进行分类讨论.
a???3,0? 319.【解析】试题分析:设因为因此【考点】指数运算对数运算【易错点睛】在解方程时要注意若没注意到方程的根有两个由于增根导致错误 解析:42
【解析】
试题分析:设logba?t,则t?1,因为t??21t5?t?2?a?b2, 2因此ab?ba?b2b?bb?2b?b2?b?2,a?4. 【考点】指数运算,对数运算. 【易错点睛】在解方程logab?logba?5时,要注意logba?1,若没注意到2logba?1,方程logab?logba?5的根有两个,由于增根导致错误 220.01∪2+∞【解析】【分析】分别确定集合AB然后求解A×B即可【详解】求解函数y=2x-x2的定义域可得:A=x|0≤x≤2求解函数y=2xx>0的值域可得B=x|x>1则A∪B=x|x≥0A∩B= 解析:
【解析】 【分析】
分别确定集合A,B,然后求解【详解】 求解函数求解函数则
表示为区间形式即【点睛】
本题主要考查集合的表示及其应用,新定义知识的应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
的定义域可得:的值域可得,
.
,
,
即可.
,
结合新定义的运算可知:
三、解答题
21.(1)f?x?为奇函数;(2)f?x?在???,0?上单调递减,证明见解析;(3)??4,?1?. 【解析】 【分析】
(1)令y??1,代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性;
(2)先证明当x?0时,f(x)?0,再利用已知和单调函数的定义,证明函数f(x)在
?0,???上的单调性,根据函数的奇偶性,即可得到函数f?x?在???,0?上的单调性;
1f?3??(3)先利用赋值法求得??再利用函数的单调性解不等式即可 39【详解】
解:(1)令y??1,则f??x??f?x?f??1?. ∵f??1???1,∴f??x???f?x? ∴函数f?x?为奇函数;
(2)函数f?x?在???,0?上单调递减. 证明如下:
由函数f?x?为奇函数得f?1???f??1??1
1当x??0,1?时,?1,
xf?x???1?1?f????0,1?,?1? fx?????x?1所以当x?0时,f?x??0, 设0?x1?x2,则于是f?x2??f?x2?x??1,∴0?f?2??1, x1?x1??x2??x??x1??f?2?f?x1??f?x1?, ?x1??x1?所以函数f?x?在?0,???上单调递减.
∵函数f?x?为奇函数,∴函数f?x?在???,0?上单调递减. (3)∵f?27??131f3???,且f?27??f?3?f?9??? ?f?3???,∴3991 9又∵函数f?x?为奇函数,∴f??3???31fa?1????∵,∴f?a?1??f??3?,函数f?x?在???,0?上单调递减. 39又当x?0时,f?x??0.
∴?3?a?1?0,即?4?a??1, 故a的取值范围为??4,?1?. 【点睛】
本题考查了抽象函数表达式的意义和运用,函数奇偶性的定义和判断方法,函数单调性定义及其证明,利用函数的单调性解不等式的方法 22.(Ⅰ)f(x)?x(Ⅱ)???,?2??3?? 4?【解析】 【分析】
(I)根据幂函数的奇偶性和在区间(0,??)上的单调性,求得m的值,进而求得f?x?的解析式.
(II)先求得g?x?的解析式,由不等式g(x)?0分离常数?得到??1x?,结合函数2x21x?在区间?1,2?上的单调性,求得?的取值范围. 2x2【详解】 y?(Ⅰ)∵幂函数f(x)?x?3m?5(m?N)为偶函数,且在区间(0,??)上单调递增,
??3m?5?0,且?3m?5为偶数. 又m?N,解得m?1,